《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 (1) 已知向量$\boldsymbol{a} = (4, -2, -4), \boldsymbol{b} = (6, -3, 2)$，则$(2\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}) · (\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) =$-244$\underline{\hspace{5em}}$；
(2) 已知$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (2, \sqrt{2}, 2\sqrt{3}), \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (0, \sqrt{2}, 0)$，则$\cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle =$$\frac{\sqrt{6}}{3}$$\underline{\hspace{5em}}$.

答案：
(1)
首先，根据向量的坐标运算规则计算$2\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}$的坐标。
已知$\boldsymbol{a} = (4, -2, -4)$，$\boldsymbol{b} = (6, -3, 2)$，则$2\boldsymbol{a}=(8,-4,-8)$，$3\boldsymbol{b}=(18,-9,6)$。
所以$2\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}=(8 + 18,-4-9,-8 + 6)=(26,-13,-2)$。
又因为$\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=(4-12,-2 + 6,-4-4)=(-8,4,-8)$。
然后，根据空间向量数量积的坐标运算公式：若$\boldsymbol{m}=(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol{n}=(x_2,y_2,z_2)$，则$\boldsymbol{m}·\boldsymbol{n}=x_1x_2 + y_1y_2+z_1z_2$。
所以$(2\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b})=26×(-8)+(-13)×4+(-2)×(-8)$
$=-208-52 + 16=-244$。
(2)
因为$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2,\sqrt{2},2\sqrt{3})$，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(0,\sqrt{2},0)$，将两式相加可得$2\boldsymbol{a}=(2,2\sqrt{2},2\sqrt{3})$，即$\boldsymbol{a}=(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$。
两式相减可得$2\boldsymbol{b}=(2,0,2\sqrt{3})$，即$\boldsymbol{b}=(1,0,\sqrt{3})$。
根据空间向量模的计算公式：若$\boldsymbol{m}=(x,y,z)$，则$\vert\boldsymbol{m}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$。
可得$\vert\boldsymbol{a}\vert=\sqrt{1 + 2+3}=\sqrt{6}$，$\vert\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{1+0 + 3}=2$。
再根据空间向量数量积的坐标运算公式可得$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=1×1+\sqrt{2}×0+\sqrt{3}×\sqrt{3}=4$。
最后根据向量夹角公式$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{b}\vert}$，可得$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{4}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
综上，答案依次为：
(1)$-244$；
(2)$\frac{\sqrt{6}}{3}$。