《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)一袋中装有$5$个同样大小的白球，编号为$1,2,3,4,5$，现从该袋中随机取出$3$个球，被取出的球的最大号码数$\xi$；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数$\eta$.
(1)随机变量ξ可能取的值为3,4,5。
ξ=3表示取出的3个球的编号为1,2,3；
ξ=4表示取出的3个球的编号为1,2,4；1,3,4；2,3,4；
ξ=5表示取出的3个球的编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5；3,4,5。
(2)随机变量η可能取的值为0,1,2,...。
η=k表示在单位时间内该部电话收到k次呼叫，其中k=0,1,2,...。

答案：
(1)随机变量ξ可能取的值为3,4,5。
ξ=3表示取出的3个球的编号为1,2,3；
ξ=4表示取出的3个球的编号为1,2,4；1,3,4；2,3,4；
ξ=5表示取出的3个球的编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5；3,4,5。
(2)随机变量η可能取的值为0,1,2,...。
η=k表示在单位时间内该部电话收到k次呼叫，其中k=0,1,2,...。

例3 离散型随机变量$X$的分布列为$P(X = n)=\frac{a}{n(n + 1)}(n = 1,2,3,4)$，其中$a$是常数，求$P(\frac{1}{2}＜X＜\frac{5}{2})$的值.
$\frac{5}{6}$

答案： $\frac{5}{6}$

例4 设离散型随机变量$X$的分布列为

(1)求随机变量$Y = 2X + 1$的分布列；
(2)求随机变量$\eta = |X - 1|$的分布列；
(3)求随机变量$\xi = X^2$的分布列.
(1) 根据$Y = 2X + 1$，分别计算$X$取不同值时$Y$的值及对应概率：当$X = 0$时，$Y=2×0 + 1=1$，$P(Y = 1)=P(X = 0)=0.2$；当$X = 1$时，$Y=2×1 + 1=3$，$P(Y = 3)=P(X = 1)=0.1$；当$X = 2$时，$Y=2×2 + 1=5$，$P(Y = 5)=P(X = 2)=0.1$；当$X = 3$时，$Y=2×3 + 1=7$，$P(Y = 7)=P(X = 3)=0.3$；当$X = 4$时，$Y=2×4 + 1=9$，$P(Y = 9)=P(X = 4)=m$。由$\sum_{i}P(X = x_{i})=1$，即$0.2+0.1 + 0.1+0.3+m=1$，得$m = 0.3$。所以$Y$的分布列为：| $Y$ | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $P$ | 0.2 | 0.1 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
(2) 根据$\eta = |X - 1|$，分别计算$X$取不同值时$\eta$的值及对应概率：当$X = 0$时，$\eta=|0 - 1|=1$，$P(\eta = 1)=P(X = 0)=0.2$；当$X = 1$时，$\eta=|1 - 1|=0$，$P(\eta = 0)=P(X = 1)=0.1$；当$X = 2$时，$\eta=|2 - 1|=1$，$P(\eta = 1)=P(\eta = 1)+P(X = 2)=0.2 + 0.1=0.3$；当$X = 3$时，$\eta=|3 - 1|=2$，$P(\eta = 2)=P(X = 3)=0.3$；当$X = 4$时，$\eta=|4 - 1|=3$，$P(\eta = 3)=P(X = 4)=0.3$。所以$\eta$的分布列为：| $\eta$ | 0 | 1 | 2 | 3 | | --- | --- | --- | --- | --- | | $P$ | 0.1 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
(3) 根据$\xi = X^{2}$，分别计算$X$取不同值时$\xi$的值及对应概率：当$X = 0$时，$\xi=0^{2}=0$，$P(\xi = 0)=P(X = 0)=0.2$；当$X = 1$时，$\xi=1^{2}=1$，$P(\xi = 1)=P(X = 1)=0.1$；当$X = 2$时，$\xi=2^{2}=4$，$P(\xi = 4)=P(X = 2)=0.1$；当$X = 3$时，$\xi=3^{2}=9$，$P(\xi = 9)=P(X = 3)=0.3$；当$X = 4$时，$\xi=4^{2}=16$，$P(\xi = 16)=P(X = 4)=0.3$。所以$\xi$的分布列为：| $\xi$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $P$ | 0.2 | 0.1 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |

答案：
(1)
根据$Y = 2X + 1$，分别计算$X$取不同值时$Y$的值及对应概率：
当$X = 0$时，$Y=2×0 + 1=1$，$P(Y = 1)=P(X = 0)=0.2$；
当$X = 1$时，$Y=2×1 + 1=3$，$P(Y = 3)=P(X = 1)=0.1$；
当$X = 2$时，$Y=2×2 + 1=5$，$P(Y = 5)=P(X = 2)=0.1$；
当$X = 3$时，$Y=2×3 + 1=7$，$P(Y = 7)=P(X = 3)=0.3$；
当$X = 4$时，$Y=2×4 + 1=9$，$P(Y = 9)=P(X = 4)=m$。
由$\sum_{i}P(X = x_{i})=1$，即$0.2+0.1 + 0.1+0.3+m=1$，得$m = 0.3$。
所以$Y$的分布列为：
| $Y$ | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | 0.2 | 0.1 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
(2)
根据$\eta = |X - 1|$，分别计算$X$取不同值时$\eta$的值及对应概率：
当$X = 0$时，$\eta=|0 - 1|=1$，$P(\eta = 1)=P(X = 0)=0.2$；
当$X = 1$时，$\eta=|1 - 1|=0$，$P(\eta = 0)=P(X = 1)=0.1$；
当$X = 2$时，$\eta=|2 - 1|=1$，$P(\eta = 1)=P(\eta = 1)+P(X = 2)=0.2 + 0.1=0.3$；
当$X = 3$时，$\eta=|3 - 1|=2$，$P(\eta = 2)=P(X = 3)=0.3$；
当$X = 4$时，$\eta=|4 - 1|=3$，$P(\eta = 3)=P(X = 4)=0.3$。
所以$\eta$的分布列为：
| $\eta$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | 0.1 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
(3)
根据$\xi = X^{2}$，分别计算$X$取不同值时$\xi$的值及对应概率：
当$X = 0$时，$\xi=0^{2}=0$，$P(\xi = 0)=P(X = 0)=0.2$；
当$X = 1$时，$\xi=1^{2}=1$，$P(\xi = 1)=P(X = 1)=0.1$；
当$X = 2$时，$\xi=2^{2}=4$，$P(\xi = 4)=P(X = 2)=0.1$；
当$X = 3$时，$\xi=3^{2}=9$，$P(\xi = 9)=P(X = 3)=0.3$；
当$X = 4$时，$\xi=4^{2}=16$，$P(\xi = 16)=P(X = 4)=0.3$。
所以$\xi$的分布列为：
| $\xi$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | 0.2 | 0.1 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |