《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例4 一个袋子里装有除颜色外均相同的$3$个红球和$2$个黄球，从中同时取出$2$个球，则其中含红球个数$X$的数学期望是1.2.

答案： 随机变量$X$的可能取值为$0$，$1$，$2$。
$P(X = 0)=\frac{C_{3}^{0}C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}}=\frac{1×1}{10}=\frac{1}{10}$，
$P(X = 1)=\frac{C_{3}^{1}C_{2}^{1}}{C_{5}^{2}}=\frac{3×2}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{3}^{2}C_{2}^{0}}{C_{5}^{2}}=\frac{3×1}{10}=\frac{3}{10}$。
根据离散型随机变量的数学期望公式$E(X)=\sum_{i}x_{i}P(X = x_{i})$，可得：
$E(X)=0×\frac{1}{10}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{3}{10}$
$=0+\frac{3}{5}+\frac{6}{10}$
$=\frac{6 + 6}{10}$
$ = 1.2$
或根据超几何分布的数学期望公式$E(X)=n×\frac{M}{N}$（其中$n$是抽取的样本数，$M$是总体中具有某种特征的单位数，$N$是总体单位数），本题中$n = 2$，$M = 3$，$N = 5$，则$E(X)=2×\frac{3}{5}=1.2$。
故答案为：$1.2$。

例5 某城市出租车的起步价为$10$元，行驶路程不超过$4\ km$时不另外收费，若行程超过$4\ km$，则按每超出$1\ km$加收$2$元计费（超出不足$1\ km$的部分按$1\ km$计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为$15\ km$.某司机经常驾车在机场与该宾馆之间接送旅客，由于行程路线的不同及途中停车时间要转换成行车路程（规定每停车$5\ min$按$1\ km$路程计费）.该司机一次接送旅客的行车路程$X$是个随机变量，设出租车费为$Y$.
(1)求出租车费$Y$关于行车路程$X$的关系式，其中行车路程$X$超过$4\ km$；
(2)若随机变量$X$的分布列为

求所收出租车费$Y$的均值；
(3)已知某旅客实付出租车费$38$元，而出租车行驶了$15\ km$，问：出租车在途中因故停车累计最多多少分钟？
(1) $Y = 2X + 2$
(2) $34.8$
(3) $15$分钟

答案：
(1) $ Y = 2X + 2 $；
(2) $ 34.8 $；
(3) $ 15 $ 分钟。