《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 甲和乙进行乒乓球决赛，采取七局四胜制(当一人赢得$4$局胜利时则获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲每局取胜的概率为$0.8$，且各局比赛结果相互独立，则甲以$4:1$获胜的概率是0.32768.

答案： $0.32768$

例3 下列例子中随机变量$\xi$服从二项分布的有①③.
①随机变量$\xi$表示重复抛掷一枚骰子$n$次中出现点数是$3$的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为$0.9$，从开始射击到击中目标所需的射击次数$\xi$；
③有一批产品共有$N$件，其中$M$件为次品，采用有放回抽取方法，$\xi$表示$n$次抽取中出现次品的件数$(M ＜ N)$；
④有一批产品共有$N$件，其中$M$件为次品，采用不放回抽取方法，$\xi$表示$n$次抽取中出现次品的件数$(M ＜ N)$.

答案： ①③
解析：
①抛掷骰子n次，每次独立，出现点数为3的倍数概率为1/3，ξ为n次中出现的次数，符合n重伯努利试验，服从二项分布；
②ξ为首次击中目标的射击次数，属几何分布，不服从二项分布；
③有放回抽取时，每次抽次品概率M/N，n次独立重复，ξ为次品件数，服从二项分布；
④不放回抽取时，各次试验不独立，次品概率变化，服从超几何分布，不服从二项分布。
综上，服从二项分布的是①③。

例4 九节虾的身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了$40$只统计它们的质量，得到的结果如下表所示：

(1)若购进这批九节虾$35000 g$，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；
(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选$4$只，记质量在$[5,25)$间的九节虾的数量为$X$，求$X$的分布列.
(1) 计算每组的中间值：$10, 20, 30, 40, 50$。
计算平均质量：
$平均质量 = \frac{10 × 4 + 20 × 12 + 30 × 11 + 40 × 8 + 50 × 5}{40} = 29.5 g$。
计算九节虾的数量：
$数量 = \frac{35000 g}{29.5 g/只} \approx 1186 只$。
(2) 计算质量在$[5, 25)$间的九节虾的频率：
$频率 = \frac{4 + 12}{40} = 0.4$。
$X$ 服从二项分布 $B(4, 0.4)$，其分布列为：
当 $X = 0$：
$P(X = 0) = C_{4}^{0} × 0.4^{0} × (1 - 0.4)^{4} = 0.1296$，
当 $X = 1$：
$P(X = 1) = C_{4}^{1} × 0.4^{1} × (1 - 0.4)^{3} = 0.3456$，
当 $X = 2$：
$P(X = 2) = C_{4}^{2} × 0.4^{2} × (1 - 0.4)^{2} = 0.3456$，
当 $X = 3$：
$P(X = 3) = C_{4}^{3} × 0.4^{3} × (1 - 0.4)^{1} = 0.1536$，
当 $X = 4$：
$P(X = 4) = C_{4}^{4} × 0.4^{4} × (1 - 0.4)^{0} = 0.0256$，
$X$的分布列为：
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $0.1296$ | $0.3456$ | $0.3456$ | $0.1536$ | $0.0256$ |

答案：
(1) 计算每组的中间值：$10, 20, 30, 40, 50$。
计算平均质量：
$平均质量 = \frac{10 × 4 + 20 × 12 + 30 × 11 + 40 × 8 + 50 × 5}{40} = 29.5 g$。
计算九节虾的数量：
$数量 = \frac{35000 g}{29.5 g/只} \approx 1186 只$。
(2) 计算质量在$[5, 25)$间的九节虾的频率：
$频率 = \frac{4 + 12}{40} = 0.4$。
$X$ 服从二项分布 $B(4, 0.4)$，其分布列为：
当 $X = 0$：
$P(X = 0) = C_{4}^{0} × 0.4^{0} × (1 - 0.4)^{4} = 0.1296$，
当 $X = 1$：
$P(X = 1) = C_{4}^{1} × 0.4^{1} × (1 - 0.4)^{3} = 0.3456$，
当 $X = 2$：
$P(X = 2) = C_{4}^{2} × 0.4^{2} × (1 - 0.4)^{2} = 0.3456$，
当 $X = 3$：
$P(X = 3) = C_{4}^{3} × 0.4^{3} × (1 - 0.4)^{1} = 0.1536$，
当 $X = 4$：
$P(X = 4) = C_{4}^{4} × 0.4^{4} × (1 - 0.4)^{0} = 0.0256$，
$X$的分布列为：
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $0.1296$ | $0.3456$ | $0.3456$ | $0.1536$ | $0.0256$ |