《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例3 已知正方形$ABCD$与$ABEF$的边长都是$1$，且平面$ABCD\perp$平面$ABEF$，点$M$在$AC$上移动，点$N$在$BF$上移动，若$CM = BN = a(0 ＜ a ＜ \sqrt{2})$.
(1)求$MN$的长；
(2)当$a$为何值时，$MN$的长最小.
(1) $\sqrt{a^2 - \sqrt{2}a + 1}$；(2) $a = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

答案：
(1) 建立空间直角坐标系，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴。则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，F(0,0,1)。
AC的长度为√2，CM=a，则AM=√2 - a，M在AC上，坐标为( (√2 - a)/√2, (√2 - a)/√2, 0 )=(1 - a/√2, 1 - a/√2, 0)。
BF的长度为√2，BN=a，N在BF上，坐标为(1 - a/√2, 0, a/√2)。
由空间两点距离公式，MN=√[(1 - a/√2 - (1 - a/√2))² + (0 - (1 - a/√2))² + (a/√2 - 0)²]=√[(a/√2 - 1)² + (a/√2)²]=√(a² - √2 a + 1)。
(2) 令g(a)=a² - √2 a + 1，其对称轴为a=√2/2，且0＜√2/2＜√2，故当a=√2/2时，g(a)最小，MN最小。
(1) √(a² - √2 a + 1)；
(2) a=√2/2。

例4 如图，已知正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$棱长为$4$，点$H$在棱$AA_1$上，且$HA_1 = 1$. 在侧面$BCC_1B_1$内作边长为$1$的正方形$EFG C_1$，$P$是侧面$BCC_1B_1$内一动点，且点$P$到平面$CDD_1C_1$的距离等于线段$PF$的长. 当点$P$运动时，$\vert HP\vert^2$的取值范围是[22,113/4].

答案： 以A为原点，AB,AD,AA₁为x,y,z轴建立空间直角坐标系。
正方体棱长为4，各顶点坐标：A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0),D(0,4,0),A₁(0,0,4),B₁(4,0,4),C₁(4,4,4),D₁(0,4,4)。
1. 确定点H坐标
H在AA₁上，HA₁=1，AA₁长4，
∴H(0,0,3)。
2. 确定点F坐标
侧面BCC₁B₁内边长为1的正方形EFG C₁，C₁(4,4,4)为顶点。沿C₁B₁(y轴负向)、C₁C(z轴负向)各取1单位得正方形，顶点E(4,4,3),F(4,3,3),G(4,3,4),C₁(4,4,4)。故F(4,3,3)。
3. 动点P的轨迹方程
设P(4,y,z)∈侧面BCC₁B₁(y∈[0,4],z∈[0,4])。
P到平面CDD₁C₁(y=4)的距离为4 - y，PF=√[(y-3)²+(z-3)²]。
由条件4 - y=√[(y-3)²+(z-3)²]，平方化简得：y=(-z²+6z-2)/2，z∈[3-√7,4]。
4. |HP|²的表达式及最值
H(0,0,3)，P(4,y,z)，则|HP|²=4²+y²+(z-3)²=16+y²+(z-3)²。
代入y=(-z²+6z-2)/2，令t=z-3，t∈[-√7,1]，则y=(-(t+3)²+6(t+3)-2)/2=(7-t²)/2。
|HP|²=16+[(7-t²)/2]²+t²=(t⁴-10t²+113)/4。
设u=t²∈[0,7]，二次函数u²-10u+113对称轴u=5∈[0,7]。
最小值：u=5时，|HP|²=(25-50+113)/4=22；
最大值：u=0时，|HP|²=113/4。
结论
|HP|²的取值范围是[22,113/4]。
[22,113/4]