《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 已知长方体$ABCD - A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$中，$AB = 1,BC = 2,AA^{\prime} = 2$,$E$和$F$分别是棱$DD^{\prime}$和$BB^{\prime}$的中点，证明：$CE// A^{\prime}F$，并求它们之间的距离.
解析以A为原点，AB,AD,AA'所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系。各点坐标：C(1,2,0),E(0,2,1),A'(0,0,2),F(1,0,1)。向量CE=E-C=(-1,0,1)，向量A'F=F-A'=(1,0,-1)。因CE=-A'F，故CE//A'F。取v=A'F=(1,0,-1)，点C(1,2,0)∈CE，点A'(0,0,2)∈A'F，向量w=C-A'=(1,2,-2)。w×v=|i j k||1 2 -2||1 0 -1|=(-2,-1,-2)。|w×v|=√[(-2)²+(-1)²+(-2)²]=3，|v|=√(1²+0²+(-1)²)=√2。距离d=|w×v|/|v|=3/√2=3√2/2。
点津 此处求平行线间的距离实质上是运用了勾股定理.
$\blacktriangleright$题型二：平行线面间的距离

答案： 以A为原点，AB,AD,AA'所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系。
各点坐标：C(1,2,0),E(0,2,1),A'(0,0,2),F(1,0,1)。
向量CE=E-C=(-1,0,1)，向量A'F=F-A'=(1,0,-1)。
因CE=-A'F，故CE//A'F。
取v=A'F=(1,0,-1)，点C(1,2,0)∈CE，点A'(0,0,2)∈A'F，向量w=C-A'=(1,2,-2)。
w×v=|i j k|
|1 2 -2|
|1 0 -1|=(-2,-1,-2)。
|w×v|=√[(-2)²+(-1)²+(-2)²]=3，|v|=√(1²+0²+(-1)²)=√2。
距离d=|w×v|/|v|=3/√2=3√2/2。
CE//A'F，距离为3√2/2。