《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例$1$ 若$A(-1,0,1),B(1,4,7)$在直线$l$上,则直线$l$的一个方向向量为 (A)

A.$(1,2,3)$
B.$(1,3,2)$
C.$(2,1,3)$
D.$(3,2,1)$

答案： A

例$2$ 已知$\triangle ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3)$,试求出平面$ABC$的一个法向量.
设平面$ABC$的法向量为$\boldsymbol{n} = (x, y, z)$。
已知点$A(2,1,0), B(0,2,3), C(1,1,3)$，则向量$\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2, 2 - 1, 3 - 0) = (-2, 1, 3)$，向量$\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 2, 1 - 1, 3 - 0) = (-1, 0, 3)$。
根据法向量的定义，法向量与平面内的任意两个不共线的向量都垂直，所以有：
$\begin{cases}\boldsymbol{n} · \overrightarrow{AB} = 0, \\ \boldsymbol{n} · \overrightarrow{AC} =0,\end{cases}$
即$\begin{cases}-2x + y + 3z = 0, \\-x + 3z = 0,\end{cases}$
令$z = 1$，从第二个方程$-x + 3z = 0$，解得$x = 3$。
将$x = 3$，$z = 1$代入第一个方程$-2x + y + 3z = 0$，得到$-6 + y + 3 = 0$，解得$y = 3$。
所以，平面$ABC$的一个法向量为$\boldsymbol{n} = (3,3, 1)$（法向量不唯一，乘以任意非零实数仍是法向量）。

答案： 设平面$ABC$的法向量为$\boldsymbol{n} = (x, y, z)$。
已知点$A(2,1,0), B(0,2,3), C(1,1,3)$，则向量$\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2, 2 - 1, 3 - 0) = (-2, 1, 3)$，向量$\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 2, 1 - 1, 3 - 0) = (-1, 0, 3)$。
根据法向量的定义，法向量与平面内的任意两个不共线的向量都垂直，所以有：
$\begin{cases}\boldsymbol{n} · \overrightarrow{AB} = 0, \\ \boldsymbol{n} · \overrightarrow{AC} =0,\end{cases}$
即$\begin{cases}-2x + y + 3z = 0, \\-x + 3z = 0,\end{cases}$
令$z = 1$，从第二个方程$-x + 3z = 0$，解得$x = 3$。
将$x = 3$，$z = 1$代入第一个方程$-2x + y + 3z = 0$，得到$-6 + y + 3 = 0$，解得$y = 3$。
所以，平面$ABC$的一个法向量为$\boldsymbol{n} = (3,3, 1)$（法向量不唯一，乘以任意非零实数仍是法向量）。

例$3$ 已知直线$l$过点$P(1,0,-1)$且平行于向量$\boldsymbol{a}=(2,1,1)$,平面$\alpha$过直线$l$与点$M(1,2,3)$,则平面$\alpha$的法向量不可能是 (D)

A.$(1,-4,2)$
B.$(\frac{1}{4},-1,\frac{1}{2})$
C.$(-\frac{1}{4},1,-\frac{1}{2})$
D.$(0,-1,1)$

答案： D