《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例4 已知棱长为$a$的正方体$ABCD -A_1B_1C_1D_1$，求$A_1C_1$与$B_1C$的距离.
$\frac{\sqrt{3}}{3}a$

答案： 建立空间直角坐标系，以$D$为原点，$DA,DC,DD_1$所在直线分别为$x,y,z$轴，设正方体棱长为$a$，则$A_1(a,0,a),C_1(0,a,a),B_1(a,a,a),C(0,a,0)$。
$\overrightarrow{A_1C_1}=(0 - a,a - 0,a - a)=(-a,a,0)$，$\overrightarrow{B_1C}=(0 - a,a - a,0 - a)=(-a,0,-a)$。
设与$\overrightarrow{A_1C_1},\overrightarrow{B_1C}$都垂直的向量$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}·\overrightarrow{A_1C_1}=0\\\boldsymbol{n}·\overrightarrow{B_1C}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}-ax + ay = 0\\-ax - az = 0\end{cases}$。
令$x = 1$，由$-ax+ay = 0$得$y = 1$，由$-ax - az = 0$得$z=-1$，所以$\boldsymbol{n}=(1,1,-1)$。
$B_1(a,a,a),C_1(0,a,a)$，则$\overrightarrow{B_1C_1}=(0 - a,a - a,a - a)=(-a,0,0)$。
根据公式$d = \frac{|\boldsymbol{n}·\overrightarrow{MP}|}{|\boldsymbol{n}|}$，这里$M$可取$B_1$，$P$可取$C_1$，$\overrightarrow{B_1C_1}=(-a,0,0)$，$\boldsymbol{n}=(1,1,-1)$。
$\boldsymbol{n}·\overrightarrow{B_1C_1}=1×(-a)+1×0+(-1)×0=-a$，$|\boldsymbol{n}|=\sqrt{1^2 + 1^2+(-1)^2}=\sqrt{3}$。
所以$d=\frac{|-a|}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$。
综上，$A_1C_1$与$B_1C$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$。