《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例4 求过点$(-1, 0)$且与曲线$f(x) = x^2 + x + 1$相切的直线方程.
设切点坐标为$(x_0, x_0^2 + x_0 + 1)$，$f'(x) = 2x + 1$，切线斜率$k = 2x_0 + 1$。
切线方程：$y - (x_0^2 + x_0 + 1) = (2x_0 + 1)(x - x_0)$。
因切线过点$(-1, 0)$，代入得：$-(x_0^2 + x_0 + 1) = (2x_0 + 1)(-1 - x_0)$。
化简得：$-x_0^2 - x_0 - 1 = -2x_0^2 - 3x_0 - 1$，即$x_0^2 + 2x_0 = 0$，解得$x_0 = 0$或$x_0 = -2$。
当$x_0 = 0$时，$k = 1$，切线方程：$y = x + 1$；
当$x_0 = -2$时，$k = -3$，切线方程：$y = -3x - 3$。
综上，切线方程为$y = x + 1$和$y = -3x - 3$。

答案： 设切点坐标为$(x_0, x_0^2 + x_0 + 1)$，$f'(x) = 2x + 1$，切线斜率$k = 2x_0 + 1$。
切线方程：$y - (x_0^2 + x_0 + 1) = (2x_0 + 1)(x - x_0)$。
因切线过点$(-1, 0)$，代入得：$-(x_0^2 + x_0 + 1) = (2x_0 + 1)(-1 - x_0)$。
化简得：$-x_0^2 - x_0 - 1 = -2x_0^2 - 3x_0 - 1$，即$x_0^2 + 2x_0 = 0$，解得$x_0 = 0$或$x_0 = -2$。
当$x_0 = 0$时，$k = 1$，切线方程：$y = x + 1$；
当$x_0 = -2$时，$k = -3$，切线方程：$y = -3x - 3$。
综上，切线方程为$y = x + 1$和$y = -3x - 3$。

例5 已知函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上可导，其部分图象如图所示，设$\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = a$，则下列不等式正确的是
(B)


A.$f'(1) ＜ f'(2) ＜ a$
B.$f'(1) ＜ a ＜ f'(2)$
C.$f'(2) ＜ f'(1) ＜ a$
D.$a ＜ f'(1) ＜ f'(2)$

答案： B