《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 某汽车启动$15 s$后，速度表的指针指在如图所示的位置.由图可知 (A)


A.此时汽车的瞬时速度是$50 km/h$
B.此时汽车的瞬时速度是$50 m/s$
C.启动后$15 s$内汽车的平均速度是$50 km/h$
D.启动后$15 s$内汽车的平均速度是$50 m/s$

答案： A

例3 一物体做自由落体运动，运动方程为$s = \frac{1}{2}gt^2 (g = 10 m/s^2$，位移单位为$m$，时间单位为$s)$，求物体在$t = 2 s$时的瞬时速度.
根据题意，物体的运动方程为$s = \frac{1}{2}gt^2$，其中$g = 10 m/s^2$。
① 计算位移改变量$\Delta s$：
设时间改变量为$\Delta t$，则在$t = 2 s$时，位移为：
$s(2 + \Delta t) = \frac{1}{2} · 10 · (2 + \Delta t)^2 = 5 · (4 + 4\Delta t + (\Delta t)^2) = 20 + 20\Delta t + 5(\Delta t)^2$，
原位移为：
$s(2) = \frac{1}{2} · 10 · 2^2 = 20$，
因此，位移改变量为：
$\Delta s = s(2 + \Delta t) - s(2) = (20 + 20\Delta t + 5(\Delta t)^2) - 20 = 20\Delta t + 5(\Delta t)^2$。
② 计算平均速度$\bar{v}$：
$\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{20\Delta t + 5(\Delta t)^2}{\Delta t} = 20 + 5\Delta t$。
③ 求瞬时速度$v$：
当$\Delta t \to 0$时，平均速度$\bar{v} = 20 + 5\Delta t \to 20$。
因此，物体在$t = 2 s$时的瞬时速度为：
$v = 20 m/s$。

答案： 根据题意，物体的运动方程为$s = \frac{1}{2}gt^2$，其中$g = 10 m/s^2$。
① 计算位移改变量$\Delta s$：
设时间改变量为$\Delta t$，则在$t = 2 s$时，位移为：
$s(2 + \Delta t) = \frac{1}{2} · 10 · (2 + \Delta t)^2 = 5 · (4 + 4\Delta t + (\Delta t)^2) = 20 + 20\Delta t + 5(\Delta t)^2$，
原位移为：
$s(2) = \frac{1}{2} · 10 · 2^2 = 20$，
因此，位移改变量为：
$\Delta s = s(2 + \Delta t) - s(2) = (20 + 20\Delta t + 5(\Delta t)^2) - 20 = 20\Delta t + 5(\Delta t)^2$。
② 计算平均速度$\bar{v}$：
$\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{20\Delta t + 5(\Delta t)^2}{\Delta t} = 20 + 5\Delta t$。
③ 求瞬时速度$v$：
当$\Delta t \to 0$时，平均速度$\bar{v} = 20 + 5\Delta t \to 20$。
因此，物体在$t = 2 s$时的瞬时速度为：
$v = 20 m/s$。