《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例5 如图,在四棱锥$P-ABCD$中,底面$ABCD$是平行四边形,$PD\perp$平面$ABCD$,$PD=AD=BD=2$,$AB=2\sqrt{2}$,$E$是棱$PC$上的一点.
(1)若$PA//$平面$BDE$,求证:$PE=EC$.
(2)在(1)的条件下,棱$PB$上是否存在点$M$,使直线$DM$与平面$BDE$所成角的大小为$30^{\circ}$?若存在,求$PM:MB$的值;若不存在,请说明理由.

(1)证明：以D为原点，DA,DB,DP所在直线为x,y,z轴建立坐标系，D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),C(-2,2,0)。设E∈PC，设E(-2t,2t,2-2t)。PA=(2,0,-2)，平面BDE法向量n=(1-t,0,t)。由PA//平面BDE得PA·n=0，即2(1-t)-2t=0，解得t=1/2，故PE=EC。
(2)存在，PM:MB=1。

答案：
(1)以D为原点，DA,DB,DP所在直线为x,y,z轴建立坐标系，D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),C(-2,2,0)。设E∈PC，设E(-2t,2t,2-2t)。PA=(2,0,-2)，平面BDE法向量n=(1-t,0,t)。由PA//平面BDE得PA·n=0，即2(1-t)-2t=0，解得t=1/2，故PE=EC。
(2)E(-1,1,1)，平面BDE法向量n=(1,0,1)。设M在PB上，PM:MB=λ，M(0,2λ/(1+λ),2/(1+λ))，DM=(0,2λ/(1+λ),2/(1+λ))。由直线DM与平面BDE所成角为30°，得sin30°=|DM·n|/(|DM||n|)，即1/2=1/(√2√(λ²+1))，解得λ=1，故PM:MB=1。
存在，PM:MB=1。