《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数$\xi$的期望.
3.5

答案： 3.5

例2 为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过$1\ h$免费，超过$1\ h$的部分每小时收费标准为$40$元(超过部分不足$1\ h$按$1\ h$计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场滑雪，已知甲、乙不超过$1\ h$离开的概率分别为$\frac{1}{4},\frac{1}{6}$；$1\ h$以上且不超过$2\ h$离开的概率分别为$\frac{1}{2},\frac{2}{3}$；两人滑雪时间都不会超过$3\ h$.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量$\xi$，求$\xi$的分布列与数学期望$E(\xi)$.
(1)设甲、乙两人所付滑雪费用相同为事件$A$，甲、乙所付费用可为$0$元，$40$元，$80$元。
甲付$0$元，乙付$0$元的概率$P_1 = \frac{1}{4}×\frac{1}{6}=\frac{1}{24}$；
甲付$40$元，乙付$40$元的概率$P_2=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$；
甲付$80$元，乙付$80$元的概率$P_3=(1 - \frac{1}{4}-\frac{1}{2})×(1 - \frac{1}{6}-\frac{2}{3})=\frac{1}{4}×\frac{1}{6}=\frac{1}{24}$。
则$P(A)=P_1 + P_2+P_3=\frac{1}{24}+\frac{1}{3}+\frac{1}{24}=\frac{5}{12}$。
(2)$\xi$的可能取值为$0,40,80,120,160$。
$P(\xi = 0)=\frac{1}{4}×\frac{1}{6}=\frac{1}{24}$；
$P(\xi = 40)=\frac{1}{4}×\frac{2}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$；
$P(\xi = 80)=\frac{1}{4}×\frac{1}{6}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{4}=\frac{1}{24}+\frac{1}{3}+\frac{1}{24}=\frac{5}{12}$；
$P(\xi = 120)=\frac{1}{2}×\frac{1}{6}+\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$；
$P(\xi = 160)=\frac{1}{4}×\frac{1}{6}=\frac{1}{24}$。
$\xi$的分布列为：
| $\xi$ | $0$ | $40$ | $80$ | $120$ | $160$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $P$ | $\frac{1}{24}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{5}{12}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{24}$ |
$E(\xi)=0×\frac{1}{24}+40×\frac{1}{4}+80×\frac{5}{12}+120×\frac{1}{4}+160×\frac{1}{24}=80$。

答案：
(1)
设甲、乙两人所付滑雪费用相同为事件$A$，甲、乙所付费用可为$0$元，$40$元，$80$元。
甲付$0$元，乙付$0$元的概率$P_1 = \frac{1}{4}×\frac{1}{6}=\frac{1}{24}$；
甲付$40$元，乙付$40$元的概率$P_2=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$；
甲付$80$元，乙付$80$元的概率$P_3=(1 - \frac{1}{4}-\frac{1}{2})×(1 - \frac{1}{6}-\frac{2}{3})=\frac{1}{4}×\frac{1}{6}=\frac{1}{24}$。
则$P(A)=P_1 + P_2+P_3=\frac{1}{24}+\frac{1}{3}+\frac{1}{24}=\frac{5}{12}$。
(2)
$\xi$的可能取值为$0,40,80,120,160$。
$P(\xi = 0)=\frac{1}{4}×\frac{1}{6}=\frac{1}{24}$；
$P(\xi = 40)=\frac{1}{4}×\frac{2}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$；
$P(\xi = 80)=\frac{1}{4}×\frac{1}{6}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{4}=\frac{1}{24}+\frac{1}{3}+\frac{1}{24}=\frac{5}{12}$；
$P(\xi = 120)=\frac{1}{2}×\frac{1}{6}+\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$；
$P(\xi = 160)=\frac{1}{4}×\frac{1}{6}=\frac{1}{24}$。
$\xi$的分布列为：
| $\xi$ | $0$ | $40$ | $80$ | $120$ | $160$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $P$ | $\frac{1}{24}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{5}{12}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{24}$ |
$E(\xi)=0×\frac{1}{24}+40×\frac{1}{4}+80×\frac{5}{12}+120×\frac{1}{4}+160×\frac{1}{24}=80$。