《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例7　如图，在四棱锥$P - ABCD$中，底面$ABCD$是边长为2的菱形，$\angle ABC = 60°$，$\triangle PAB$为正三角形，且侧面$PAB\perp$底面$ABCD$，$E$为线段$AB$的中点，$M$在线段$PD$上.
(1)当$M$是线段$PD$的中点时，求证：$PB//$平面$ACM$.
(2)求证：$PE\perp AC$.
(3)是否存在点$M$，使二面角$M - EC - D$的大小为$60°$？若存在，求出$\frac{PM}{PD}$的值；若不存在，请说明理由.

答案：
(1) 连接BD交AC于H。
∵ABCD为菱形，
∴H为BD中点。又M为PD中点，
∴MH//PB。
∵PB⊄平面ACM，MH⊂平面ACM，
∴PB//平面ACM。
(2)
∵△PAB为正三角形，E为AB中点，
∴PE⊥AB。平面PAB⊥平面ABCD，交线AB，PE⊂平面PAB，
∴PE⊥平面ABCD。
∵AC⊂平面ABCD，
∴PE⊥AC。
(3) 以E为原点，EB,EC,EP为x,y,z轴建系，E(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,√3),C(0,√3,0),D(-2,√3,0)。设M满足$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}$，λ∈[0,1]，则M(-2λ,√3λ,√3(1-λ))。$\overrightarrow{EM}=(-2λ,√3λ,√3(1-λ))$，$\overrightarrow{EC}=(0,√3,0)$。设平面CEM法向量$\mathbf{n}=(x,y,z)$，由$\mathbf{n}·\overrightarrow{EM}=0$，$\mathbf{n}·\overrightarrow{EC}=0$得y=0，2λx=√3(1-λ)z。令z=2λ，则$\mathbf{n}=(√3(1-λ),0,2λ)$。平面ABCD法向量$\mathbf{m}=(0,0,1)$。二面角60°，则$|2λ|/\sqrt{3(1-λ)^2+4λ^2}=1/2$，解得λ=1/3(λ=-1舍)。故存在M，$\frac{PM}{PD}=\frac{1}{3}$。