《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例5 已知$2$件次品和$3$件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出$2$件次品或者检测出$3$件正品时结束检测.
(1)$\frac{3}{10}$求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用$100$元，设$X$表示直到检测出$2$件次品或者检测出$3$件正品时所需要的检测费用（单位：元），求$X$的分布列.

答案：
(1) 第一次检测次品概率为$\frac{2}{5}$，第二次检测正品概率为$\frac{3}{4}$，故概率为$\frac{2}{5} × \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$。
(2) X=100n，n为检测次数，n可能取值为2,3,4，故X取值为200,300,400。
$P(X=200)$：前2次均为次品，概率$\frac{2}{5} × \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$。
$P(X=300)$：前2次1次次品1次正品第3次次品，或前2次2次正品第3次正品。
前2次1次次品1次正品第3次次品：$2 × (\frac{2}{5} × \frac{3}{4} × \frac{1}{3}) = \frac{2}{10}$。
前2次2次正品第3次正品：$\frac{3}{5} × \frac{2}{4} × \frac{1}{3} = \frac{1}{10}$。
合计$\frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$。
$P(X=400)$：$1 - \frac{1}{10} - \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。
X的分布列为：
| X | 200 | 300 | 400 |
|----|-----|-----|-----|
| P | $\frac{1}{10}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{3}{5}$ |