《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 求下列函数的驻点、极值点、极值.
(1)$y=(x^2 - 1)^3 + 1$；
(2)$f(x)=\frac{\ln x}{x}$.
(1) 定义域为 $ \mathbb{R} $。
求导：$ y' = 6x(x^2 - 1)^2 $。
令 $ y' = 0 $，解得驻点 $ x = -1, 0, 1 $。
分析导数符号：
$ x ＜ -1 $ 时，$ y' ＜ 0 $；
$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 时，$ y' ＜ 0 $；
$ 0 ＜ x ＜ 1 $ 时，$ y' ＞ 0 $；
$ x ＞ 1 $ 时，$ y' ＞ 0 $。
故 $ x = -1, 1 $ 非极值点，$ x = 0 $ 为极小值点。
极值：$ y(0) = (0 - 1)^3 + 1 = 0 $。
驻点：$ x = -1, 0, 1 $；极值点：$ x = 0 $（极小值点）；极值：极小值 $ 0 $。
(2) 定义域为 $ (0, +\infty) $。
求导：$ f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} $。
令 $ f'(x) = 0 $，解得驻点 $ x = e $。
分析导数符号：
$ 0 ＜ x ＜ e $ 时，$ f'(x) ＞ 0 $；
$ x ＞ e $ 时，$ f'(x) ＜ 0 $。
故 $ x = e $ 为极大值点。
极值：$ f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} $。
驻点：$ x = e $；极值点：$ x = e $（极大值点）；极值：极大值 $ \frac{1}{e} $。

答案：
(1) 定义域为 $ \mathbb{R} $。
求导：$ y' = 6x(x^2 - 1)^2 $。
令 $ y' = 0 $，解得驻点 $ x = -1, 0, 1 $。
分析导数符号：
$ x ＜ -1 $ 时，$ y' ＜ 0 $；
$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 时，$ y' ＜ 0 $；
$ 0 ＜ x ＜ 1 $ 时，$ y' ＞ 0 $；
$ x ＞ 1 $ 时，$ y' ＞ 0 $。
故 $ x = -1, 1 $ 非极值点，$ x = 0 $ 为极小值点。
极值：$ y(0) = (0 - 1)^3 + 1 = 0 $。
驻点：$ x = -1, 0, 1 $；极值点：$ x = 0 $（极小值点）；极值：极小值 $ 0 $。
(2) 定义域为 $ (0, +\infty) $。
求导：$ f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} $。
令 $ f'(x) = 0 $，解得驻点 $ x = e $。
分析导数符号：
$ 0 ＜ x ＜ e $ 时，$ f'(x) ＞ 0 $；
$ x ＞ e $ 时，$ f'(x) ＜ 0 $。
故 $ x = e $ 为极大值点。
极值：$ f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} $。
驻点：$ x = e $；极值点：$ x = e $（极大值点）；极值：极大值 $ \frac{1}{e} $。