《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例4　如图，在长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$E,F$分别是棱$BC,CC_1$上的点，$CF = AB = 2CE$，$AB:AD:AA_1 = 1:2:4$.
(1)求异面直线$EF$与$A_1D$所成角的余弦值；
(2)证明：$AF\perp$平面$A_1ED$；
(3)求二面角$A_1 - ED - F$的正弦值.

（1）设$AB=a$，则$AD=2a$，$AA_1=4a$，建立以$A$为原点，$AB,AD,AA_1$为轴的坐标系。
$E(a,\frac{3a}{2},0)$，$F(a,2a,a)$，$A_1(0,0,4a)$，$D(0,2a,0)$。
$\overrightarrow{EF}=(0,\frac{a}{2},a)$，$\overrightarrow{A_1D}=(0,2a,-4a)$。
$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{A_1D}|}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{A_1D}|}=\frac{|0+\frac{a}{2}·2a+a·(-4a)|}{\sqrt{0+(\frac{a}{2})^2+a^2}·\sqrt{0+(2a)^2+(-4a)^2}}=\frac{3a^2}{\frac{a\sqrt{5}}{2}·2a\sqrt{5}}=\frac{3}{5}$。
（2）$\overrightarrow{AF}=(a,2a,a)$，$\overrightarrow{A_1E}=(a,\frac{3a}{2},-4a)$，$\overrightarrow{ED}=(-a,\frac{a}{2},0)$。
$\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{A_1E}=a^2+3a^2-4a^2=0$，$\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{ED}=-a^2+a^2+0=0$。
$AF\perp A_1E$，$AF\perp ED$，且$A_1E\cap ED=E$，故$AF\perp$平面$A_1ED$。
（3）平面$A_1ED$的法向量$\overrightarrow{AF}=(a,2a,a)$，平面$FED$的法向量$\boldsymbol{n}=(1,2,-1)$。
$\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{AF}·\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AF}||\boldsymbol{n}|}=\frac{|a+4a-a|}{\sqrt{a^2+4a^2+a^2}·\sqrt{1+4+1}}=\frac{4a}{a\sqrt{6}·\sqrt{6}}=\frac{2}{3}$。
$\sin\varphi=\sqrt{1-(\frac{2}{3})^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
（1）$\frac{3}{5}$；（2）见解析；（3）$\frac{\sqrt{5}}{3}$。

答案： （1）设$AB=a$，则$AD=2a$，$AA_1=4a$，建立以$A$为原点，$AB,AD,AA_1$为轴的坐标系。
$E(a,\frac{3a}{2},0)$，$F(a,2a,a)$，$A_1(0,0,4a)$，$D(0,2a,0)$。
$\overrightarrow{EF}=(0,\frac{a}{2},a)$，$\overrightarrow{A_1D}=(0,2a,-4a)$。
$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{A_1D}|}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{A_1D}|}=\frac{|0+\frac{a}{2}·2a+a·(-4a)|}{\sqrt{0+(\frac{a}{2})^2+a^2}·\sqrt{0+(2a)^2+(-4a)^2}}=\frac{3a^2}{\frac{a\sqrt{5}}{2}·2a\sqrt{5}}=\frac{3}{5}$。
（2）$\overrightarrow{AF}=(a,2a,a)$，$\overrightarrow{A_1E}=(a,\frac{3a}{2},-4a)$，$\overrightarrow{ED}=(-a,\frac{a}{2},0)$。
$\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{A_1E}=a^2+3a^2-4a^2=0$，$\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{ED}=-a^2+a^2+0=0$。
$AF\perp A_1E$，$AF\perp ED$，且$A_1E\cap ED=E$，故$AF\perp$平面$A_1ED$。
（3）平面$A_1ED$的法向量$\overrightarrow{AF}=(a,2a,a)$，平面$FED$的法向量$\boldsymbol{n}=(1,2,-1)$。
$\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{AF}·\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AF}||\boldsymbol{n}|}=\frac{|a+4a-a|}{\sqrt{a^2+4a^2+a^2}·\sqrt{1+4+1}}=\frac{4a}{a\sqrt{6}·\sqrt{6}}=\frac{2}{3}$。
$\sin\varphi=\sqrt{1-(\frac{2}{3})^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
（1）$\frac{3}{5}$；（2）见解析；（3）$\frac{\sqrt{5}}{3}$。