《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

1. 导数的计算
例1 已知 $f(x)=\sin \frac{x}{2}\left(1-2 \cos ^{2} \frac{x}{4}\right)$, 则 $f^{\prime}(x)=$$-\dfrac{1}{2}\cos x$.

答案： $-\dfrac{1}{2}\cos x$
解析：
因为$1 - 2\cos^{2}\frac{x}{4}=-\cos\left(2×\frac{x}{4}\right)=-\cos\frac{x}{2}$，
所以$f(x)=\sin\frac{x}{2}\left(-\cos\frac{x}{2}\right)=-\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$。
又$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\sin x$，则$f(x)=-\frac{1}{2}\sin x$。
故$f'(x)=\left(-\frac{1}{2}\sin x\right)'=-\frac{1}{2}\cos x$。

例2 (1) 已知 $f(x)=x(2027+\ln x)$, 若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=2028$, 则 $x_{0}=$1;
(2) 若 $f(x)=x^{2}+2 x · f^{\prime}(1)$, 则 $f^{\prime}(0)=$-4.

答案：
(1) 对 $ f(x) = x(2027 + \ln x) $ 求导，根据乘法法则：$ f'(x) = (x)'(2027 + \ln x) + x(2027 + \ln x)' $。
$ (x)' = 1 $，$ (2027 + \ln x)' = \frac{1}{x} $，则 $ f'(x) = 2027 + \ln x + x · \frac{1}{x} = 2028 + \ln x $。
令 $ f'(x_0) = 2028 $，即 $ 2028 + \ln x_0 = 2028 $，得 $ \ln x_0 = 0 $，所以 $ x_0 = 1 $。
(2) 对 $ f(x) = x^2 + 2x f'(1) $ 求导，$ f'(x) = 2x + 2f'(1) $。
令 $ x = 1 $，则 $ f'(1) = 2 · 1 + 2f'(1) $，解得 $ f'(1) = -2 $。
所以 $ f'(x) = 2x + 2(-2) = 2x - 4 $，则 $ f'(0) = 2 · 0 - 4 = -4 $。
1
-4

2. 导数的几何意义
例3 已知 $y=f(x)$ 是可导函数, 直线 $y=k x+2$ 是曲线 $y=f(x)$ 在 $x=3$ 处的切线, 如图所示, 则 $f(3)=$1; 令 $g(x)=x f(x), g^{\prime}(x)$ 是 $g(x)$ 的导函数, 则 $g^{\prime}(3)=$0.

答案： 1. 因为直线$y = kx + 2$是曲线$y = f(x)$在$x = 3$处的切线，所以点$(3,f(3))$既在曲线上也在切线上。将$x = 3$代入切线方程得$f(3)=3k + 2$。又由图可知切线过点$(3,1)$，所以$1=3k + 2$，解得$k=-\frac{1}{3}$，则$f(3)=1$。
2. 因为$g(x)=xf(x)$，所以$g'(x)=f(x)+xf'(x)$。由导数几何意义知$f'(3)=k=-\frac{1}{3}$，又$f(3)=1$，所以$g'(3)=f(3)+3f'(3)=1 + 3×(-\frac{1}{3})=0$。
1；0