《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 已知$A$,$B$,$C$三点不共线，平面$ABC$外一点$O$满足$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$.
(1)判断$\overrightarrow{MA}$,$\overrightarrow{MB}$,$\overrightarrow{MC}$三个向量是否共面；
(2)判断点$M$是否在平面$ABC$内.
(1) 由$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，得$3\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$，即$\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$。
$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$，
$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM}$，
则$-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=-(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM})-(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM})=2\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{MA}$，
即$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$，故$\overrightarrow{MA}$,$\overrightarrow{MB}$,$\overrightarrow{MC}$共面。
(2) 由$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，且$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$，又A,B,C不共线，O为平面ABC外一点，故点M在平面ABC内。

答案：
(1) 由$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，得$3\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$，即$\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$。
$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$，
$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM}$，
则$-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=-(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM})-(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM})=2\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{MA}$，
即$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$，故$\overrightarrow{MA}$,$\overrightarrow{MB}$,$\overrightarrow{MC}$共面。
(2) 由$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，且$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$，又A,B,C不共线，O为平面ABC外一点，故点M在平面ABC内。