《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 已知正方体$OABC-O'A'B'C'$的棱长为$a$，点$N$在$AC$上，点$M$在$BC'$上，且$\vert AN\vert=2\vert CN\vert$，$\vert BM\vert=2\vert MC'\vert$. 求$MN$的长.

$\frac{\sqrt{5}}{3}a$

答案： $\frac{\sqrt{5}}{3}a$

例2 设点$P$在$x$轴上，它到点$P_1(0,\sqrt{2},3)$的距离为它到点$P_2(0,1,-1)$的距离的$2$倍，求点$P$的坐标.
$(1,0,0)$或$(-1,0,0)$

答案： 设点$P$的坐标为$(x,0,0)$。
因为点$P$到点$P_1(0,\sqrt{2},3)$的距离为它到点$P_2(0,1,-1)$的距离的$2$倍，所以由空间两点间距离公式可得：
$\sqrt{(x - 0)^2 + (0 - \sqrt{2})^2 + (0 - 3)^2} = 2\sqrt{(x - 0)^2 + (0 - 1)^2 + (0 + 1)^2}$
等式两边平方得：
$x^2 + 2 + 9 = 4(x^2 + 1 + 1)$
化简得：
$x^2 + 11 = 4(x^2 + 2)$
$x^2 + 11 = 4x^2 + 8$
$3x^2 = 3$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$
所以点$P$的坐标为$(1,0,0)$或$(-1,0,0)$。
$(1,0,0)$，$(-1,0,0)$