《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例4 已知$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}$是空间的一组基，且$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3$,$\overrightarrow{OB}=-3\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2 + 2\boldsymbol{e}_3$,$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3$，试判断：$\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}$能否作为空间的一组基？若能，试以此基底表示向量$\overrightarrow{OD}=2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2 + 3\boldsymbol{e}_3$；若不能，请说明理由.
能作为空间一组基；$\overrightarrow{OD}=17\overrightarrow{OA}-5\overrightarrow{OB}-30\overrightarrow{OC}$

答案： 要判断$\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}$能否作为空间的一组基，需判断三向量是否共面。
假设存在实数$\lambda$，$\mu$使$\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}+\mu\overrightarrow{OC}$，则：
$\boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3=\lambda(-3\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2 + 2\boldsymbol{e}_3)+\mu(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3)$
由$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}$线性无关，得方程组：
$\begin{cases}-3\lambda+\mu=1\\\lambda+\mu=2\\2\lambda-\mu=-1\end{cases}$
解得$\lambda=\frac{1}{4},\mu=\frac{7}{4}$，代入第三个方程不成立，故$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$不共面，能作为基。
设$\overrightarrow{OD}=a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}$，则：
$2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2 + 3\boldsymbol{e}_3=a(\boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3)+b(-3\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2 + 2\boldsymbol{e}_3)+c(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3)$
得方程组：
$\begin{cases}a - 3b + c=2\\2a + b + c=-1\\-a + 2b - c=3\end{cases}$
解得$a=17,b=-5,c=-30$，故$\overrightarrow{OD}=17\overrightarrow{OA}-5\overrightarrow{OB}-30\overrightarrow{OC}$。
能作为空间一组基；$\overrightarrow{OD}=17\overrightarrow{OA}-5\overrightarrow{OB}-30\overrightarrow{OC}$