《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占$70\%$，乙厂产品占$30\%$，甲厂产品的合格率是$95\%$，乙厂产品的合格率是$80\%$. 若用事件$A, \overline{A}$分别表示甲、乙两厂的产品，$B$表示产品为合格品. 求市场上买一个灯泡的合格率，及买到合格灯泡是甲厂生产的概率.
根据题意，设事件$A$表示甲厂产品，事件$\overline{A}$表示乙厂产品，事件$B$表示产品为合格品。
$P(A) = 0.7$，$P(\overline{A}) = 0.3$，
$P(B|A) = 0.95$，$P(B|\overline{A}) = 0.8$。
利用全概率公式，市场上灯泡的合格率为：
$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})$
$= 0.7 × 0.95 + 0.3 × 0.8$
$ = 0.665 + 0.24$
$ = 0.905$
利用贝叶斯公式，买到合格灯泡是甲厂生产的概率为：
$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$
$ = \frac{0.7 × 0.95}{0.905}$
$ \approx 0.7348$
综上，市场上买一个灯泡的合格率为$90.5\%$；买到合格灯泡是甲厂生产的概率约为$73.48\%$。

答案： 根据题意，设事件$A$表示甲厂产品，事件$\overline{A}$表示乙厂产品，事件$B$表示产品为合格品。
$P(A) = 0.7$，$P(\overline{A}) = 0.3$，
$P(B|A) = 0.95$，$P(B|\overline{A}) = 0.8$。
利用全概率公式，市场上灯泡的合格率为：
$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})$
$= 0.7 × 0.95 + 0.3 × 0.8$
$ = 0.665 + 0.24$
$ = 0.905$
利用贝叶斯公式，买到合格灯泡是甲厂生产的概率为：
$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$
$ = \frac{0.7 × 0.95}{0.905}$
$ \approx 0.7348$
综上，市场上买一个灯泡的合格率为$90.5\%$；买到合格灯泡是甲厂生产的概率约为$73.48\%$。

例3 设$10$个考题中有$4$个难题. 甲、乙、丙依次不放回抽取，求各人抽到难题的概率. 请验证抽取的公正性.
设事件$A_i$表示“第$i$个人抽到难题”，$i = 1,2,3$。
首先计算第一个人抽到难题的概率：
$P(A_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$，
接着计算第二个人抽到难题的概率。这需要考虑两种情况：第一个人抽到难题和第一个人没抽到难题。
$P(A_2) = P(A_1)P(A_2|A_1) + P(\overline{A_1})P(A_2|\overline{A_1})$
$= \frac{4}{10} × \frac{3}{9} + \frac{6}{10} × \frac{4}{9}$
$ = \frac{4}{10}$
最后计算第三个人抽到难题的概率。这同样需要考虑前两个人抽到难题的所有可能情况：
$P(A_3) = P(A_1A_2)P(A_3|A_1A_2) + P(A_1\overline{A_2})P(A_3|A_1\overline{A_2}) + P(\overline{A_1}A_2)P(A_3|\overline{A_1}A_2) + P(\overline{A_1}\overline{A_2})P(A_3|\overline{A_1}\overline{A_2})$
$= \frac{4}{10} × \frac{3}{9} × \frac{2}{8} + \frac{4}{10} × \frac{6}{9} × \frac{3}{8} + \frac{6}{10} × \frac{4}{9} × \frac{3}{8} + \frac{6}{10} × \frac{5}{9} × \frac{4}{8}$
$ = \frac{4}{10}$
由上述计算可知，每个人抽到难题的概率都是$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$，因此抽取过程是公正的。

答案： 设事件$A_i$表示“第$i$个人抽到难题”，$i = 1,2,3$。
首先计算第一个人抽到难题的概率：
$P(A_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$，
接着计算第二个人抽到难题的概率。这需要考虑两种情况：第一个人抽到难题和第一个人没抽到难题。
$P(A_2) = P(A_1)P(A_2|A_1) + P(\overline{A_1})P(A_2|\overline{A_1})$
$= \frac{4}{10} × \frac{3}{9} + \frac{6}{10} × \frac{4}{9}$
$ = \frac{4}{10}$
最后计算第三个人抽到难题的概率。这同样需要考虑前两个人抽到难题的所有可能情况：
$P(A_3) = P(A_1A_2)P(A_3|A_1A_2) + P(A_1\overline{A_2})P(A_3|A_1\overline{A_2}) + P(\overline{A_1}A_2)P(A_3|\overline{A_1}A_2) + P(\overline{A_1}\overline{A_2})P(A_3|\overline{A_1}\overline{A_2})$
$= \frac{4}{10} × \frac{3}{9} × \frac{2}{8} + \frac{4}{10} × \frac{6}{9} × \frac{3}{8} + \frac{6}{10} × \frac{4}{9} × \frac{3}{8} + \frac{6}{10} × \frac{5}{9} × \frac{4}{8}$
$ = \frac{4}{10}$
由上述计算可知，每个人抽到难题的概率都是$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$，因此抽取过程是公正的。