《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 如图，棱长为1的正方体$ABCD -A_1B_1C_1D_1$中，$E,F$分别为$BB_1,C_1C$的中点，$DG = \frac{1}{3}DD_1$，过$E,F,G$的平面交$AA_1$于点$H$，求$A_1D_1$到平面$EFGH$的距离.

$\frac{4\sqrt{37}}{37}$

答案： 以D为原点，DA,DC,DD₁分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。棱长为1，各点坐标：D(0,0,0),E(1,1,1/2),F(0,1,1/2),G(0,0,1/3),设H(1,0,h)。
因E,F,G,H共面，向量EF=(-1,0,0),EG=(-1,-1,-1/6),EH=(0,-1,h-1/2)共面，混合积EF·(EG×EH)=0，解得h=1/3，故H(1,0,1/3)。
平面EFGH的法向量n=EF×EH=(-1,0,0)×(0,-1,-1/6)=(0,1/6,1)，取n=(0,-1,6)。
A₁D₁上取点D₁(0,0,1)，平面上取点E(1,1,1/2)，向量ED₁=(-1,-1,1/2)。
距离d=|ED₁·n|/|n|=|(-1)
(0)+(-1)(-1)+(1/2)
(6)|/√(0²+(-1)²+6²)=4/√37=4√37/37。
4√37/37

例3 在棱长为1的正方体$ABCD -A_1B_1C_1D_1$中，求平面$AB_1C$与平面$A_1C_1D$之间的距离.

以A为原点，AB,AD,AA₁所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.棱长为1,各顶点坐标：A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A₁(0,0,1),B₁(1,0,1),C₁(1,1,1).
求平面AB₁C的法向量：
平面AB₁C上点A(0,0,0),B₁(1,0,1),C(1,1,0).向量$\overrightarrow{AB₁}=(1,0,1)$,$\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$.设法向量$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,则
$\begin{cases}\boldsymbol{n}·\overrightarrow{AB₁}=x+z=0\\\boldsymbol{n}·\overrightarrow{AC}=x+y=0\end{cases}$,令$x=1$,得$y=-1,z=-1$,$\boldsymbol{n}=(1,-1,-1)$.
求平面A₁C₁D的法向量：
平面A₁C₁D上点A₁(0,0,1),C₁(1,1,1),D(0,1,0).向量$\overrightarrow{A₁C₁}=(1,1,0)$,$\overrightarrow{A₁D}=(0,1,-1)$.设法向量$\boldsymbol{m}=(a,b,c)$,则
$\begin{cases}\boldsymbol{m}·\overrightarrow{A₁C₁}=a+b=0\\\boldsymbol{m}·\overrightarrow{A₁D}=b-c=0\end{cases}$,令$a=1$,得$b=-1,c=-1$,$\boldsymbol{m}=(1,-1,-1)$.
判断平面平行：$\boldsymbol{n}=\boldsymbol{m}$,故两平面平行.
计算距离：取平面AB₁C上点A(0,0,0),平面A₁C₁D上点A₁(0,0,1),$\overrightarrow{AA₁}=(0,0,1)$.
距离$d=\frac{|\overrightarrow{AA₁}·\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{|0×1+0×(-1)+1×(-1)|}{\sqrt{1²+(-1)²+(-1)²}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
结论：平面AB₁C与平面A₁C₁D之间的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

答案： 以A为原点，AB,AD,AA₁所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.棱长为1,各顶点坐标：A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A₁(0,0,1),B₁(1,0,1),C₁(1,1,1).
求平面AB₁C的法向量：
平面AB₁C上点A(0,0,0),B₁(1,0,1),C(1,1,0).向量$\overrightarrow{AB₁}=(1,0,1)$,$\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$.设法向量$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,则
$\begin{cases}\boldsymbol{n}·\overrightarrow{AB₁}=x+z=0\\\boldsymbol{n}·\overrightarrow{AC}=x+y=0\end{cases}$,令$x=1$,得$y=-1,z=-1$,$\boldsymbol{n}=(1,-1,-1)$.
求平面A₁C₁D的法向量：
平面A₁C₁D上点A₁(0,0,1),C₁(1,1,1),D(0,1,0).向量$\overrightarrow{A₁C₁}=(1,1,0)$,$\overrightarrow{A₁D}=(0,1,-1)$.设法向量$\boldsymbol{m}=(a,b,c)$,则
$\begin{cases}\boldsymbol{m}·\overrightarrow{A₁C₁}=a+b=0\\\boldsymbol{m}·\overrightarrow{A₁D}=b-c=0\end{cases}$,令$a=1$,得$b=-1,c=-1$,$\boldsymbol{m}=(1,-1,-1)$.
判断平面平行：$\boldsymbol{n}=\boldsymbol{m}$,故两平面平行.
计算距离：取平面AB₁C上点A(0,0,0),平面A₁C₁D上点A₁(0,0,1),$\overrightarrow{AA₁}=(0,0,1)$.
距离$d=\frac{|\overrightarrow{AA₁}·\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{|0×1+0×(-1)+1×(-1)|}{\sqrt{1²+(-1)²+(-1)²}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
结论：平面AB₁C与平面A₁C₁D之间的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.