《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

5. 优化问题
例6 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元. 该建筑物每年的能源消耗费用 $C$ (单位: 万元) 与隔热层厚度 $x$ (单位: $\mathrm{cm}$) 之间满足以下关系式: $C(x)=\frac{k}{3 x+5}(0 \leqslant x \leqslant 10)$. 若不建隔热层, 每年能源消耗费用为 8 万元. 设 $f(x)$ 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
(1) 求 $k$ 的值及 $f(x)$ 的表达式;
(2) 隔热层修建多厚时, 总费用 $f(x)$ 达到最小, 并求最小值.
(1)当$x=0$时，$C(0)=8$，代入$C(x)=\frac{k}{3x+5}$得$\frac{k}{5}=8$，解得$k=40$。
建造费用为$6x$万元，20年能源消耗费用为$20×\frac{40}{3x+5}=\frac{800}{3x+5}$万元，故$f(x)=6x+\frac{800}{3x+5}(0\leqslant x\leqslant10)$。
(2)对$f(x)=6x+\frac{800}{3x+5}$求导得$f'(x)=6-\frac{2400}{(3x+5)^2}$，令$f'(x)=0$，即$6=\frac{2400}{(3x+5)^2}$，解得$(3x+5)^2=400$，$3x+5=20$（舍去负根），$x=5$。
当$x=5$时，$f(5)=6×5+\frac{800}{3×5+5}=30+40=70$。
故隔热层修建$5\,cm$时，总费用最小，最小值为$70$万元。

答案：
(1)当$x=0$时，$C(0)=8$，代入$C(x)=\frac{k}{3x+5}$得$\frac{k}{5}=8$，解得$k=40$。
建造费用为$6x$万元，20年能源消耗费用为$20×\frac{40}{3x+5}=\frac{800}{3x+5}$万元，故$f(x)=6x+\frac{800}{3x+5}(0\leqslant x\leqslant10)$。
(2)对$f(x)=6x+\frac{800}{3x+5}$求导得$f'(x)=6-\frac{2400}{(3x+5)^2}$，令$f'(x)=0$，即$6=\frac{2400}{(3x+5)^2}$，解得$(3x+5)^2=400$，$3x+5=20$（舍去负根），$x=5$。
当$x=5$时，$f(5)=6×5+\frac{800}{3×5+5}=30+40=70$。
故隔热层修建$5\,cm$时，总费用最小，最小值为$70$万元。