《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例8 已知函数 $f(x)=\ln x-m x(m \in \mathbf{R})$.
(1) 讨论函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的单调性与最值;
(2) 当 $x＞0$ 时, 任选以下两个命题中的
一个证明:
① $\mathrm{e}^{x-2}+\mathrm{e}^{x-1} \geqslant 2 x-1$;
② $2 x-1＞\ln \left(x^{2}+x\right)$.

答案：
(1) 函数$f(x)=\ln x - mx$的定义域为$(0,+\infty)$，求导得$f'(x)=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}$。
当$m\leq0$时，$1-mx＞0$（$x＞0$），则$f'(x)＞0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，无最值。
当$m＞0$时，令$f'(x)=0$，得$x=\frac{1}{m}$。当$0＜x＜\frac{1}{m}$时，$f'(x)＞0$，$f(x)$单调递增；当$x＞\frac{1}{m}$时，$f'(x)＜0$，$f(x)$单调递减。则$f(x)$在$x=\frac{1}{m}$处取得最大值，$f\left(\frac{1}{m}\right)=\ln\left(\frac{1}{m}\right)-m·\frac{1}{m}=-\ln m -1$，无最小值。
综上，当$m\leq0$时，$f(x)$的单调递增区间是$(0,+\infty)$，无单调递减区间，无最值；当$m＞0$时，$f(x)$的单调递增区间是$\left(0,\frac{1}{m}\right)$，单调递减区间是$\left(\frac{1}{m},+\infty\right)$，最大值为$-\ln m -1$，无最小值。
(2) 选择命题①证明：
由
(1)，令$m=1$，得$f(x)=\ln x - x$的最大值为$f(1)=-1$，即$\ln x - x \leq -1$，故$\ln x \leq x -1$（$x＞0$）。
由$\ln x \leq x -1$，令$t=x-1$，得$\ln(t+1)\leq t$，两边取指数得$e^t \geq t +1$（$t＞-1$）。
令$t=x-1$，则$e^{x-1}\geq (x-1)+1=x$；令$t=x-2$，则$e^{x-2}\geq (x-2)+1=x-1$。
故$e^{x-2}+e^{x-1}\geq (x-1)+x=2x -1$，即证。