《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

3. 利用导数求函数的单调区间或讨论单调性
例4 已知函数 $f(x)=x \ln x$, 则 $f(x)$ 的单调递减区间是$\left(0, \dfrac{1}{e}\right)$.

答案： 解答过程
1. 确定定义域
函数 $ f(x) = x \ln x $ 的定义域为 $ (0, +\infty) $.
2. 求导函数
$ f'(x) = \ln x + x · \frac{1}{x} = \ln x + 1 $.
3. 解不等式 $ f'(x) ＜ 0 $
由 $ \ln x + 1 ＜ 0 $，得 $ \ln x ＜ -1 $，即 $ \ln x ＜ \ln e^{-1} $.
因为 $ y = \ln x $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增，所以 $ 0 ＜ x ＜ \frac{1}{e} $.
结论
函数 $ f(x) $ 的单调递减区间是 $ \left(0, \frac{1}{e}\right) $.
$\boxed{\left(0, \dfrac{1}{e}\right)}$

4. 根据函数的单调性求参数
例5 已知函数 $f(x)=\ln x(x＞0), g(x)=\frac{1}{2} a x^{2}+2 x(a \neq 0)$.
(1) 若函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 存在单调递减区间, 求 $a$ 的取值范围;
(2) 若函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 在 $[1,4]$ 上单调递减, 求 $a$ 的取值范围.
(1) $(-1,0)\cup(0,+\infty)$
(2) $[-\frac{7}{16},0)\cup(0,+\infty)$

答案：
(1)
$h(x)=\ln x - \frac{1}{2}ax^{2}-2x$，$x\gt0$，
$h^\prime(x)=\frac{1}{x}-ax - 2=-\frac{ax^{2}+2x - 1}{x}$，
因为函数$h(x)$存在单调递减区间，所以$h^\prime(x)\lt0$有解，
即$ax^{2}+2x - 1\gt0$在$(0,+\infty)$上有解，
当$a\gt0$时，二次函数$y = ax^{2}+2x - 1$图象开口向上，显然有解；
当$a\lt0$时，需$\Delta=4 + 4a\gt0$，解得$-1\lt a\lt0$，
综上，$a$的取值范围是$(-1,0)\cup(0,+\infty)$。
(2)
因为$h(x)$在$[1,4]$上单调递减，所以$h^\prime(x)\leq0$在$[1,4]$上恒成立，
即$\frac{1}{x}-ax - 2\leq0$在$[1,4]$上恒成立，
即$a\geq\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x}$在$[1,4]$上恒成立，
令$t = \frac{1}{x}$，则$t\in[\frac{1}{4},1]$，
设$\varphi(t)=t^{2}-2t$，$t\in[\frac{1}{4},1]$，
$\varphi(t)$的对称轴为$t = 1$，$\varphi(t)$在$[\frac{1}{4},1]$上单调递减，
$\varphi(t)_{\max}=\varphi(\frac{1}{4})=\frac{1}{16}-\frac{1}{2}=-\frac{7}{16}$，
所以$a\geq-\frac{7}{16}$，
又因为$a\neq0$，所以$a$的取值范围是$[-\frac{7}{16},0)\cup(0,+\infty)$。