《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例5 某投资公司在某年年初计划在“低碳”项目上投资$1000$万元，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车. 据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利$30\%$，也可能亏损$15\%$，且这两种情况发生的概率分别为$\frac{7}{9}$和$\frac{2}{9}$.
项目二：通信设备. 据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利$50\%$，可能损失$30\%$，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{15}$.
针对以上两个投资项目，请你为该投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
项目一：设收益为X（万元），X取值为300，-150，概率P(X=300)=7/9，P(X=-150)=2/9。
E(X)=300×7/9 + (-150)×2/9=200。
E(X²)=300²×7/9 + (-150)²×2/9=75000。
Var(X)=75000 - 200²=35000。
项目二：设收益为Y（万元），Y取值为500，-300，0，概率P(Y=500)=3/5，P(Y=-300)=1/3，P(Y=0)=1/15。
E(Y)=500×3/5 + (-300)×1/3 + 0×1/15=200。
E(Y²)=500²×3/5 + (-300)²×1/3 + 0²×1/15=180000。
Var(Y)=180000 - 200²=140000。
E(X)=E(Y)=200，Var(X)=35000 ＜ Var(Y)=140000，选择项目一。

答案： 项目一：设收益为X（万元），X取值为300，-150，概率P(X=300)=7/9，P(X=-150)=2/9。
E(X)=300×7/9 + (-150)×2/9=200。
E(X²)=300²×7/9 + (-150)²×2/9=75000。
Var(X)=75000 - 200²=35000。
项目二：设收益为Y（万元），Y取值为500，-300，0，概率P(Y=500)=3/5，P(Y=-300)=1/3，P(Y=0)=1/15。
E(Y)=500×3/5 + (-300)×1/3 + 0×1/15=200。
E(Y²)=500²×3/5 + (-300)²×1/3 + 0²×1/15=180000。
Var(Y)=180000 - 200²=140000。
E(X)=E(Y)=200，Var(X)=35000 ＜ Var(Y)=140000，选择项目一。