《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为 $\frac{1}{2}$.现有 $10$ 件产品，其中 $6$ 件是一等品，$4$ 件是二等品.
(1)随机选取 $3$ 件产品，设至少有一件通过检测为事件 $A$，求事件 $A$ 的概率；
(2)随机选取 $3$ 件产品，其中一等品的件数记为 $X$，求 $X$ 的分布列.
(1)事件A的对立事件为“三件都未通过检测”，即三件均为二等品且均未通过检测。总组合数$C_{10}^{3}=120$，对立事件组合数$C_{4}^{3}=4$，3件二等品均未通过概率$(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$。$P(\overline{A})=\frac{4 × \frac{1}{8}}{120}=\frac{1}{240}$，则$P(A)=1 - \frac{1}{240}=\frac{239}{240}$。
(2)X可能取值为0,1,2,3，服从超几何分布，概率公式$P(X=k)=\frac{C_{6}^{k}C_{4}^{3 - k}}{C_{10}^{3}}$。$P(X=0)=\frac{C_{6}^{0}C_{4}^{3}}{120}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$，$P(X=1)=\frac{C_{6}^{1}C_{4}^{2}}{120}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$，$P(X=2)=\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{1}}{120}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$，$P(X=3)=\frac{C_{6}^{3}C_{4}^{0}}{120}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$。分布列：| X | 0 | 1 | 2 | 3 | |----|-----|-----|-----|-----| | P | 1/30| 3/10| 1/2 | 1/6 |

答案：
(1) 事件A的对立事件为“三件都未通过检测”，即三件均为二等品且均未通过检测。
总组合数$C_{10}^{3}=120$，对立事件组合数$C_{4}^{3}=4$，3件二等品均未通过概率$(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$。
$P(\overline{A})=\frac{4 × \frac{1}{8}}{120}=\frac{1}{240}$，则$P(A)=1 - \frac{1}{240}=\frac{239}{240}$。
(2) X可能取值为0,1,2,3，服从超几何分布，概率公式$P(X=k)=\frac{C_{6}^{k}C_{4}^{3 - k}}{C_{10}^{3}}$。
$P(X=0)=\frac{C_{6}^{0}C_{4}^{3}}{120}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$
$P(X=1)=\frac{C_{6}^{1}C_{4}^{2}}{120}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$
$P(X=2)=\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{1}}{120}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$
$P(X=3)=\frac{C_{6}^{3}C_{4}^{0}}{120}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$
分布列：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|----|-----|-----|-----|-----|
| P | 1/30| 3/10| 1/2 | 1/6 |

例2 从 $4$ 名男生和 $2$ 名女生中任选 $3$ 人参加数学竞赛.
(1)求所选 $3$ 人中恰有 $1$ 名女生的概率；
(2)设 $X$ 表示所选女生人数，求其分布列；
(3)求所选 $3$ 人中女生至少有 $1$ 人的概率.
(1)总组合数 $C_{6}^{3} = \frac{6 × 5 × 3 !}{3× 2 ×1 × 3!} = 20 × \frac{1}{ × 1（约去3!）}= 20$（种）
恰有1名女生的组合数 $C_{2}^{1}C_{4}^{2} = 2 × 6 = 12$（种）
$P = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$
(2)$P(X = 0) = \frac{C_{4}^{3}}{C_{6}^{3}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$
$P(X = 1) = \frac{C_{2}^{1}C_{4}^{2}}{C_{6}^{3}} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$
$P(X = 2) = \frac{C_{2}^{2}C_{4}^{1}}{C_{6}^{3}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$
分布列：
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |
(3)$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

答案：
(1)
总组合数 $C_{6}^{3} = \frac{6 × 5 × 3 !}{3× 2 ×1 × 3!} = 20 × \frac{1}{ × 1（约去3!）}= 20$（种）
恰有1名女生的组合数 $C_{2}^{1}C_{4}^{2} = 2 × 6 = 12$（种）
$P = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$
(2)
$P(X = 0) = \frac{C_{4}^{3}}{C_{6}^{3}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$
$P(X = 1) = \frac{C_{2}^{1}C_{4}^{2}}{C_{6}^{3}} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$
$P(X = 2) = \frac{C_{2}^{2}C_{4}^{1}}{C_{6}^{3}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$
分布列：
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |
(3)
$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

例3 袋中有 $3$ 个白球，$2$ 个黑球，从中随机地连续抽取 $3$ 次，每次取 $1$ 个球.求有放回抽样时，取到黑球的个数 $X$ 的分布列.
有放回抽样时，每次抽取黑球的概率为$\frac{2}{5}$，且各次抽取相互独立，因此$X\sim B\left(3,\frac{2}{5}\right)$。
$P(X=0)=C_{3}^{0}\left(\frac{2}{5}\right)^{0}\left(\frac{3}{5}\right)^{3}=\frac{27}{125}$
$P(X=1)=C_{3}^{1}\left(\frac{2}{5}\right)^{1}\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{54}{125}$
$P(X=2)=C_{3}^{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\left(\frac{3}{5}\right)^{1}=\frac{36}{125}$
$P(X=3)=C_{3}^{3}\left(\frac{2}{5}\right)^{3}\left(\frac{3}{5}\right)^{0}=\frac{8}{125}$
分布列为：
|X|0|1|2|3|
|---|---|---|---|---|
|P|$\frac{27}{125}$|$\frac{54}{125}$|$\frac{36}{125}$|$\frac{8}{125}$|

答案： 有放回抽样时，每次抽取黑球的概率为$\frac{2}{5}$，且各次抽取相互独立，因此$X\sim B\left(3,\frac{2}{5}\right)$。
$P(X=0)=C_{3}^{0}\left(\frac{2}{5}\right)^{0}\left(\frac{3}{5}\right)^{3}=\frac{27}{125}$
$P(X=1)=C_{3}^{1}\left(\frac{2}{5}\right)^{1}\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{54}{125}$
$P(X=2)=C_{3}^{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\left(\frac{3}{5}\right)^{1}=\frac{36}{125}$
$P(X=3)=C_{3}^{3}\left(\frac{2}{5}\right)^{3}\left(\frac{3}{5}\right)^{0}=\frac{8}{125}$
分布列为：
|X|0|1|2|3|
|---|---|---|---|---|
|P|$\frac{27}{125}$|$\frac{54}{125}$|$\frac{36}{125}$|$\frac{8}{125}$|