《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 已知函数$f(x)=x^3 + 3ax^2 + bx + a^2$在$x = - 1$处有极值0，则$a =$2，$b =$9.

答案： $a = 2$，$b = 9$（按题目要求填空形式，第一空填$2$，第二空填$9$）

例3 已知函数$f(x)=x^3 - 6x^2 + 9x + 3$，若函数$y = f(x)$的图象与$y=\frac{1}{3}f'(x)+5x + m$的图象有三个不同的交点，求实数$m$的取值范围.
$(-16,\frac{68}{27})$

答案： $(-16,\frac{68}{27})$

例4 设函数$f(x)=[ax^2 - (4a + 1)x + 4a + 3]e^x$.
(1) 若曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与$x$轴平行，求$a$；
(2) 若$f(x)$在$x = 2$处取得极小值，求$a$的取值范围.
(1) $a=1$；(2) $(\frac{1}{2},+\infty)$

答案：
(1) 对$f(x)$求导：$f'(x)=e^x[ax^2-(2a+1)x+2]$。
在$x=1$处，$f'(1)=e(1-a)$。
由切线与$x$轴平行得$f'(1)=0$，即$1-a=0$，解得$a=1$。
(2) 令$g(x)=ax^2-(2a+1)x+2$，则$f'(x)=e^xg(x)$，$e^x＞0$恒成立。
$g(x)=0$的根为$x=2$和$x=\frac{1}{a}(a\neq0)$。
当$a=0$时，$g(x)=-x+2$，$x=2$为极大值点，舍去。
当$a\neq0$时：
若$a＞\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}＜2$，$g(x)$开口向上，$f'(x)$在$(-\infty,\frac{1}{a})$、$(2,+\infty)$正，$(\frac{1}{a},2)$负，$x=2$为极小值点。
若$a=\frac{1}{2}$，$g(x)=\frac{1}{2}(x-2)^2\geq0$，$f(x)$单调，无极值，舍去。
若$0＜a＜\frac{1}{2}$或$a＜0$，$x=2$为极大值点，舍去。
综上，$a$的取值范围是$(\frac{1}{2},+\infty)$。
(1) $a=1$；
(2) $(\frac{1}{2},+\infty)$