《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 已知$l_1$的方向向量为$\boldsymbol{v}_1 = (1,2,3)$，$l_2$的方向向量为$\boldsymbol{v}_2 = (\lambda,4,6)$，若$l_1 // l_2$，则$\lambda$等于
(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

例2 如图，平面$PAD \perp$平面$ABCD$，四边形$ABCD$为正方形，$\triangle PAD$是直角三角形，且$PA = AD = 2$，$E$，$F$，$G$分别是线段$PA$，$PD$，$CD$的中点. 求证：$PB //$平面$EFG$.

建立以$A$点为原点，以$\overrightarrow{AB}$的方向为$x$轴的正方向，以$\overrightarrow{AD}$的方向为$y$轴的正方向，以$\overrightarrow{AP}$的方向为$z$轴的正方向的空间直角坐标系$A - xyz$。
因为$PA = AD = 2$，则各点坐标：
$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(2,2,0)$，$D(0,2,0)$，$P(0,0,2)$。
由于$E$，$F$，$G$分别是线段$PA$，$PD$，$CD$的中点，则：
$E$为$PA$中点，坐标为$(0,0,1)$；
$F$为$PD$中点，坐标为$(0,1,1)$；
$G$为$CD$中点，坐标为$(1,2,0)$。
$\overrightarrow{PB}=(2,0,-2)$，
$\overrightarrow{EF}=(0,1,0)$，
$\overrightarrow{EG}=(1,2,-1)$，
设平面$EFG$的法向量$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\overrightarrow{n}·\overrightarrow{EF}=0,\\\overrightarrow{n}·\overrightarrow{EG}=0.\end{cases}$
即$\begin{cases}y = 0,\\x + 2y - z = 0.\end{cases}$
令$x = 1$，则$z = 1$，$y = 0$，$\overrightarrow{n}=(1,0,1)$。
$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{n}=2×1 + 0×0 + (-2)×1 = 0$。
所以$\overrightarrow{PB}\perp\overrightarrow{n}$。
又因为$PB\not\subset$平面$EFG$，
所以$PB//$平面$EFG$。

答案： 建立以$A$点为原点，以$\overrightarrow{AB}$的方向为$x$轴的正方向，以$\overrightarrow{AD}$的方向为$y$轴的正方向，以$\overrightarrow{AP}$的方向为$z$轴的正方向的空间直角坐标系$A - xyz$。
因为$PA = AD = 2$，则各点坐标：
$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(2,2,0)$，$D(0,2,0)$，$P(0,0,2)$。
由于$E$，$F$，$G$分别是线段$PA$，$PD$，$CD$的中点，则：
$E$为$PA$中点，坐标为$(0,0,1)$；
$F$为$PD$中点，坐标为$(0,1,1)$；
$G$为$CD$中点，坐标为$(1,2,0)$。
$\overrightarrow{PB}=(2,0,-2)$，
$\overrightarrow{EF}=(0,1,0)$，
$\overrightarrow{EG}=(1,2,-1)$，
$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{EF}=2×0 + 0×1 + (-2)×0 = 0$，
$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{EG}=2×1 + 0×2 + (-2)×(-1)=4\neq0$，
设平面$EFG$的法向量$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\overrightarrow{n}·\overrightarrow{EF}=0,\\\overrightarrow{n}·\overrightarrow{EG}=0.\end{cases}$
即$\begin{cases}y = 0,\\x + 2y - z = 0.\end{cases}$
令$x = 1$，则$z = 1$，$y = 0$，$\overrightarrow{n}=(1,0,1)$。
$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{n}=2×1 + 0×0 + (-2)×1 = 0$。
所以$\overrightarrow{PB}\perp\overrightarrow{n}$。
又因为$PB\not\subset$平面$EFG$，
所以$PB//$平面$EFG$。