《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例4 在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$E$是棱$D_1D$的中点，$P, Q$分别为线段$B_1D_1, BD$上的点，且$3\overrightarrow{B_1P} = \overrightarrow{PD_1}$，若$PQ \perp AE$，$\overrightarrow{BD} = \lambda\overrightarrow{DQ}$，求$\lambda$的值.

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答案： 以D为原点，DA,DC,DD₁为x,y,z轴建立坐标系，设正方体棱长为1。
各点坐标：D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),D₁(0,0,1),B₁(1,1,1),E(0,0,1/2)。
求P点坐标：
B₁(1,1,1),D₁(0,0,1)，设P(x,y,z)。
由3$\overrightarrow{B₁P}$=$\overrightarrow{PD₁}$，得3(x-1,y-1,z-1)=(-x,-y,1-z)。
解得x=3/4,y=3/4,z=1，故P(3/4,3/4,1)。
求Q点坐标：
设Q(a,b,0)，BD=(-1,-1,0)，DQ=(a,b,0)。
由$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{DQ}$，得(-1,-1,0)=λ(a,b,0)，故a=-1/λ,b=-1/λ，Q(-1/λ,-1/λ,0)。
BD参数方程：x=1-t,y=1-t,z=0(t∈[0,1])，则Q(1-t,1-t,0)，即-1/λ=1-t。
由PQ⊥AE得数量积为0：
$\overrightarrow{PQ}$=(-1/λ-3/4,-1/λ-3/4,-1)=(1-t-3/4,1-t-3/4,-1)=(1/4-t,1/4-t,-1)。
$\overrightarrow{AE}$=(-1,0,1/2)。
PQ·AE=(1/4-t)(-1)+(-1)(1/2)=0，解得t=3/4。
求λ：
Q(1-t,1-t,0)=(1/4,1/4,0)，则-1/λ=1/4，故λ=-4。
λ=-4