《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 求下列函数的导数：
(1)$y=\frac{\sqrt{x^5}+\sqrt{x^7}+\sqrt{x^9}}{\sqrt{x}}$；
(2)$y=\frac{x^2+1}{x^2+3}$；
(3)$y=(x+1)(x+3)(x+5)$；
(4)$y=x\tan x$.
(1)$y^\prime=2x + 3x^{2}+4x^{3}$；(2)$y^\prime=\frac{4x}{(x^{2}+3)^{2}}$；(3)$y^\prime=3x^{2}+18x+23$；(4)$y^\prime=\tan x+x\sec^{2}x$

答案：
(1)
首先对$y=\frac{\sqrt{x^5}+\sqrt{x^7}+\sqrt{x^9}}{\sqrt{x}}$化简：
$y=\frac{x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{7}{2}}+x^{\frac{9}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}=x^{2}+x^{3}+x^{4}$
根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$求导：
$y^\prime=(x^{2}+x^{3}+x^{4})^\prime=2x + 3x^{2}+4x^{3}$
(2)
根据除法求导法则$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}$，其中$u = x^{2}+1$，$v=x^{2}+3$
$u^\prime=(x^{2}+1)^\prime = 2x$，$v^\prime=(x^{2}+3)^\prime=2x$
则$y^\prime=\frac{2x(x^{2}+3)-(x^{2}+1)×2x}{(x^{2}+3)^{2}}=\frac{2x^{3}+6x - 2x^{3}-2x}{(x^{2}+3)^{2}}=\frac{4x}{(x^{2}+3)^{2}}$
(3)
先将$y=(x + 1)(x + 3)(x + 5)$展开：
$y=(x^{2}+4x + 3)(x + 5)=x^{3}+5x^{2}+4x^{2}+20x+3x + 15=x^{3}+9x^{2}+23x + 15$
求导得$y^\prime=(x^{3}+9x^{2}+23x + 15)^\prime=3x^{2}+18x+23$
(4)
根据乘法求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$，其中$u = x$，$v=\tan x$
$u^\prime=(x)^\prime = 1$，$v^\prime=(\tan x)^\prime=\sec^{2}x$
则$y^\prime=(x\tan x)^\prime=\tan x+x\sec^{2}x$
综上，答案依次为：
(1)$y^\prime=2x + 3x^{2}+4x^{3}$；
(2)$y^\prime=\frac{4x}{(x^{2}+3)^{2}}$；
(3)$y^\prime=3x^{2}+18x+23$；
(4)$y^\prime=\tan x+x\sec^{2}x$。