《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 一个袋子中有标号分别为$1,2,3,4$的$4$个球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件$A=$“第一次摸出球的标号小于$3$”,事件$B=$“第二次摸出球的标号小于$3$”.那么事件$A$与事件$B$是否相互独立?
解：
1. 确定样本空间：不放回摸两次球，共有$4×3 = 12$个基本事件，每个事件概率为$\frac{1}{12}$。
2. 计算$P(A)$：
事件$A$（第一次摸出标号小于3）含球1,2，故$P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
3. 计算$P(B)$：
由全概率公式：
$P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\neg A)P(\neg A)$
$P(A)=\frac{1}{2}$，$P(\neg A)=\frac{1}{2}$；
$P(B|A)=\frac{1}{3}$（第一次摸走1个小于3的球，剩余3个球中含1个小于3的球）；
$P(B|\neg A)=\frac{2}{3}$（第一次摸走不小于3的球，剩余3个球中含2个小于3的球）；
则$P(B)=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
4. 计算$P(AB)$：
事件$AB$（两次均摸出小于3的球）含基本事件$(1,2),(2,1)$，共2个，故$P(AB)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
5. 独立性判断：
$P(A)P(B)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\neq\frac{1}{6}=P(AB)$，
因此事件$A$与$B$不相互独立。
结论：事件$A$与事件$B$不相互独立。

答案： 解：
1. 确定样本空间：不放回摸两次球，共有$4×3 = 12$个基本事件，每个事件概率为$\frac{1}{12}$。
2. 计算$P(A)$：
事件$A$（第一次摸出标号小于3）含球1,2，故$P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
3. 计算$P(B)$：
由全概率公式：
$P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\neg A)P(\neg A)$
$P(A)=\frac{1}{2}$，$P(\neg A)=\frac{1}{2}$；
$P(B|A)=\frac{1}{3}$（第一次摸走1个小于3的球，剩余3个球中含1个小于3的球）；
$P(B|\neg A)=\frac{2}{3}$（第一次摸走不小于3的球，剩余3个球中含2个小于3的球）；
则$P(B)=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
4. 计算$P(AB)$：
事件$AB$（两次均摸出小于3的球）含基本事件$(1,2),(2,1)$，共2个，故$P(AB)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
5. 独立性判断：
$P(A)P(B)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\neq\frac{1}{6}=P(AB)$，
因此事件$A$与$B$不相互独立。
结论：事件$A$与事件$B$不相互独立。