《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1(多选题)给出下列命题，其中正确命题有 (BCD)

A.空间任意三个向量都可以作为一个基底
B.已知向量$a// b$，则$a,b$与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.$A,B,M,N$是空间四点，若$\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BN}$不能构成空间的一个基底，那么$A,B,M,N$共面
D.已知向量组$\{a,b,c\}$是空间的一个基底，若$m =a + c$，则$\{a,b,m\}$也是空间的一个基底

答案： BCD

例2　求证：在四面体$P - ABC$中，若$\overrightarrow{PA} · \overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{PC} · \overrightarrow{AB}=0$，则$\overrightarrow{PB} · \overrightarrow{AC}=0$.
设$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$。
因为$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{BC} = 0$，所以$\overrightarrow{a}·(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})=0$，即$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0$ ①。
因为$\overrightarrow{PC}·\overrightarrow{AB}=0$，所以$\overrightarrow{c}·(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) = 0$，即$\overrightarrow{c}·\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}=0$ ②。
由①得$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}$，由②得$\overrightarrow{c}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}$，所以$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}$。
则$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}·(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}=0$。
综上，$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{AC}=0$得证。

答案： 设$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$。
因为$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{BC} = 0$，所以$\overrightarrow{a}·(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})=0$，即$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0$ ①。
因为$\overrightarrow{PC}·\overrightarrow{AB}=0$，所以$\overrightarrow{c}·(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) = 0$，即$\overrightarrow{c}·\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}=0$ ②。
由①得$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}$，由②得$\overrightarrow{c}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}$，所以$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}$。
则$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}·(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}=0$。
综上，$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{AC}=0$得证。

例3　如图，在四棱锥$P - ABCD$中，$PA\perp$底面$ABCD$，$AD// BC$，$AD\perp CD$，$BC = 2$，$AD = CD = 1$，$M$是$PB$的中点. 求证：

(1)$AM//$平面$PCD$；
(2)平面$ACM\perp$平面$PAB$.
(1)取PC中点N，连接MN，DN。
∵M是PB中点，
∴MN为△PBC中位线，
∴MN//BC且MN=BC/2=1。
∵AD//BC，AD=1，
∴AD//MN且AD=MN，
∴四边形ADNM为平行四边形，
∴AM//DN。
∵DN⊂平面PCD，AM⊄平面PCD，
∴AM//平面PCD。
(2)
∵PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，
∴PA⊥AC。
在梯形ABCD中，AD=CD=1，AD⊥CD，AD//BC，BC=2，过A作AE⊥BC于E，则EC=AD=1，AE=CD=1，BE=BC-EC=1。
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=1+1=2；在Rt△ADC中，AC²=AD²+CD²=1+1=2。
∵BC=2，
∴AB²+AC²=2+2=4=BC²，
∴AC⊥AB。
∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，
∴AC⊥平面PAB。
∵AC⊂平面ACM，
∴平面ACM⊥平面PAB。

答案：
(1)取PC中点N，连接MN，DN。
∵M是PB中点，
∴MN为△PBC中位线，
∴MN//BC且MN=BC/2=1。
∵AD//BC，AD=1，
∴AD//MN且AD=MN，
∴四边形ADNM为平行四边形，
∴AM//DN。
∵DN⊂平面PCD，AM⊄平面PCD，
∴AM//平面PCD。
(2)
∵PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，
∴PA⊥AC。
在梯形ABCD中，AD=CD=1，AD⊥CD，AD//BC，BC=2，过A作AE⊥BC于E，则EC=AD=1，AE=CD=1，BE=BC-EC=1。
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=1+1=2；在Rt△ADC中，AC²=AD²+CD²=1+1=2。
∵BC=2，
∴AB²+AC²=2+2=4=BC²，
∴AC⊥AB。
∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，
∴AC⊥平面PAB。
∵AC⊂平面ACM，
∴平面ACM⊥平面PAB。