《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例4 袋中有 $3$ 个白球，$2$ 个黑球，从中不放回任意摸出 $3$ 个球.若记取到黑球的个数为 $Y$，求随机变量 $Y$ 的分布列.
由题意，随机变量 $Y$ 的可能取值为 $0, 1, 2$（因为最多有 $2$ 个黑球）。
当 $Y = 0$ 时（即取出的全是白球）：
从 $3$ 个白球中选 $3$ 个的组合数为 $C_{3}^{3}$，从 $3$ 个球中总共选 $3$ 个球的组合数为$C_{5}^{3}$。
$P(Y = 0) = \frac{C_{3}^{3}}{C_{5}^{3}} = \frac{1}{10} = 0.1$。
当 $Y = 1$ 时（即取出 $1$ 个黑球和 $2$ 个白球）：
从 $2$ 个黑球中选 $1$ 个的组合数为 $C_{2}^{1}$，从 $3$ 个白球中选 $2$ 个的组合数为 $C_{3}^{2}$。
$P(Y = 1) = \frac{C_{2}^{1} × C_{3}^{2}}{C_{5}^{3}} = \frac{2 × 3}{10} = 0.6$。
当 $Y = 2$ 时（即取出 $2$ 个黑球和 $1$ 个白球）：
从 $2$ 个黑球中选 $2$ 个的组合数为 $C_{2}^{2}$，从 $3$ 个白球中选 $1$ 个的组合数为 $C_{3}^{1}$。
$P(Y = 2) = \frac{C_{2}^{2} × C_{3}^{1}}{C_{5}^{3}} = \frac{1 × 3}{10} = 0.3 × 3 = 0.3$（或用$1 - P(Y = 0) - P(Y = 1) = 1 - 0.1 - 0.6 = 0.3$）。
所以随机变量 $Y$ 的分布列为：
| $Y$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $0.1$ | $0.6$ | $0.3$ |

答案： 由题意，随机变量 $Y$ 的可能取值为 $0, 1, 2$（因为最多有 $2$ 个黑球）。
当 $Y = 0$ 时（即取出的全是白球）：
从 $3$ 个白球中选 $3$ 个的组合数为 $C_{3}^{3}$，从 $3$ 个球中总共选 $3$ 个球的组合数为$C_{5}^{3}$。
$P(Y = 0) = \frac{C_{3}^{3}}{C_{5}^{3}} = \frac{1}{10} = 0.1$。
当 $Y = 1$ 时（即取出 $1$ 个黑球和 $2$ 个白球）：
从 $2$ 个黑球中选 $1$ 个的组合数为 $C_{2}^{1}$，从 $3$ 个白球中选 $2$ 个的组合数为 $C_{3}^{2}$。
$P(Y = 1) = \frac{C_{2}^{1} × C_{3}^{2}}{C_{5}^{3}} = \frac{2 × 3}{10} = 0.6$。
当 $Y = 2$ 时（即取出 $2$ 个黑球和 $1$ 个白球）：
从 $2$ 个黑球中选 $2$ 个的组合数为 $C_{2}^{2}$，从 $3$ 个白球中选 $1$ 个的组合数为 $C_{3}^{1}$。
$P(Y = 2) = \frac{C_{2}^{2} × C_{3}^{1}}{C_{5}^{3}} = \frac{1 × 3}{10} = 0.3 × 3 = 0.3$（或用$1 - P(Y = 0) - P(Y = 1) = 1 - 0.1 - 0.6 = 0.3$）。
所以随机变量 $Y$ 的分布列为：
| $Y$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $0.1$ | $0.6$ | $0.3$ |

例5 某市 $A,B$ 两所中学的学生组队参加辩论赛，$A$ 中学推荐了 $3$ 名男生、$2$ 名女生，$B$ 中学推荐了 $3$ 名男生、$4$ 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 $3$ 人、女生中随机抽取 $3$ 人组成代表队.
(1)求 $A$ 中学至少有 $1$ 名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的 $6$ 名队员中随机抽取 $4$ 人参赛，设 $X$ 表示参赛的男生人数，求 $X$ 的分布列.
(1)男生总共有$3 + 3=6$人，从中选$3$人的组合数为$C_{6}^{3}$种情况，女生总共有$2 + 4 = 6$人，从中选$3$人的组合数为$C_{6}^{3}$种情况。所以从$12$人中选$6$人（$3$男$3$女）的总情况数为$C_{6}^{3}C_{6}^{3}$种。$A$中学没有男生入选的情况：从$B$中学的$3$名男生中选$3$人，有$C_{3}^{3}$种选法；$A$中学没有女生入选的情况：从$B$中学的$4$名女生中选$3$人，有$C_{4}^{3}$种选法，所以$A$中学没有学生入选代表队的情况数为$C_{3}^{3}C_{4}^{3}$种。设“$A$中学至少有$1$名学生入选代表队”为事件$M$，则$P(\overline{M})=\frac{C_{3}^{3}C_{4}^{3}}{C_{6}^{3}C_{6}^{3}}=\frac{1×4}{20×20}=\frac{1}{100}$。所以$P(M)=1 - P(\overline{M}) = 1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$。(2)代表队中男生有$3$人，女生有$3$人，$X$表示参赛的男生人数，$X$的可能取值为$1$，$2$，$3$。$P(X = 1)=\frac{C_{3}^{1}C_{3}^{3}}{C_{6}^{4}}=\frac{3×1}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$；$P(X = 2)=\frac{C_{3}^{2}C_{3}^{2}}{C_{6}^{4}}=\frac{3×3}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$；$P(X = 3)=\frac{C_{3}^{3}C_{3}^{1}}{C_{6}^{4}}=\frac{1×3}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。$X$的分布列为：| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | | ---- | ---- | ---- | ---- | | $P$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |

答案：
(1)
男生总共有$3 + 3=6$人，从中选$3$人的组合数为$C_{6}^{3}$种情况，女生总共有$2 + 4 = 6$人，从中选$3$人的组合数为$C_{6}^{3}$种情况。
所以从$12$人中选$6$人（$3$男$3$女）的总情况数为$C_{6}^{3}C_{6}^{3}$种。
$A$中学没有男生入选的情况：从$B$中学的$3$名男生中选$3$人，有$C_{3}^{3}$种选法；$A$中学没有女生入选的情况：从$B$中学的$4$名女生中选$3$人，有$C_{4}^{3}$种选法，所以$A$中学没有学生入选代表队的情况数为$C_{3}^{3}C_{4}^{3}$种。
设“$A$中学至少有$1$名学生入选代表队”为事件$M$，则$P(\overline{M})=\frac{C_{3}^{3}C_{4}^{3}}{C_{6}^{3}C_{6}^{3}}=\frac{1×4}{20×20}=\frac{1}{100}$。
所以$P(M)=1 - P(\overline{M}) = 1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$。
(2)
代表队中男生有$3$人，女生有$3$人，$X$表示参赛的男生人数，$X$的可能取值为$1$，$2$，$3$。
$P(X = 1)=\frac{C_{3}^{1}C_{3}^{3}}{C_{6}^{4}}=\frac{3×1}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$；
$P(X = 2)=\frac{C_{3}^{2}C_{3}^{2}}{C_{6}^{4}}=\frac{3×3}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$；
$P(X = 3)=\frac{C_{3}^{3}C_{3}^{1}}{C_{6}^{4}}=\frac{1×3}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。
$X$的分布列为：
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $P$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |