《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 把一条正态曲线$C_{1}$沿着横轴的方向向右移动$2$个单位长度，得到一条新的曲线$C_{2}$，则下列说法不正确的是 (D)

A.曲线$C_{2}$仍然是正态曲线
B.曲线$C_{1}$和曲线$C_{2}$最高点的纵坐标相等
C.以曲线$C_{2}$为概率密度曲线的总体的期望比以曲线$C_{1}$为概率密度曲线的总体的期望大$2$
D.以曲线$C_{2}$为概率密度曲线的总体方差比以曲线$C_{1}$为概率密度曲线的总体方差大$2$

答案： D

例3 袋装食盐标准质量为$400\ g$，规定误差的绝对值不超过$4\ g$就认为合格.假设误差服从正态分布，随机抽取$100$袋食盐，误差的样本均值为$0$，样本方差为$4$.请你估计这批袋装食盐的合格率.
设误差为$X$，由题意知$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，样本均值$\mu=0$，样本方差$\sigma^2=4$，则$\sigma=2$，即$X\sim N(0,2^2)$。
合格率为$P(|X|\leq4)=P(-4\leq X\leq4)$。
标准化得$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X}{2}$，则$P(-4\leq X\leq4)=P(-2\leq Z\leq2)$，其中$Z\sim N(0,1)$。
由正态分布“$3\sigma$”法则，$P(\mu - 2\sigma\leq X\leq\mu + 2\sigma)=0.9545$，故$P(-4\leq X\leq4)=0.9545$。
0.9545

答案： 设误差为$X$，由题意知$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，样本均值$\mu=0$，样本方差$\sigma^2=4$，则$\sigma=2$，即$X\sim N(0,2^2)$。
合格率为$P(|X|\leq4)=P(-4\leq X\leq4)$。
标准化得$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X}{2}$，则$P(-4\leq X\leq4)=P(-2\leq Z\leq2)$，其中$Z\sim N(0,1)$。
由正态分布“$3\sigma$”法则，$P(\mu - 2\sigma\leq X\leq\mu + 2\sigma)=0.9545$，故$P(-4\leq X\leq4)=0.9545$。
0.9545