《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例3 一次英语单元测验由$20$道选择题构成，每道选择题有$4$个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确得$5$分，不做出选择或选错不得分，满分$100$分.学生甲选对任一道题的概率为$0.9$，学生乙则在测验中对每道题都从$4$个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望.
设学生甲答对的题数为$X$，则$X\sim B(20,0.9)$（二项分布）。
由二项分布的期望公式$E(X)=n× p$（$n$为试验次数，$p$为每次试验成功的概率），可得$E(X)=20×0.9 = 18$。
设每道题得分为$Y_i$（$i = 1,2,·s,20$），答对得$5$分，不答或答错得$0$分，设学生甲的总成绩为$\eta$，则$\eta = \sum_{i = 1}^{20}Y_i$。
因为$E(Y_i)=5×0.9+0×(1 - 0.9)= 4.5$，所以$E(\eta)=E(\sum_{i = 1}^{20}Y_i)=\sum_{i = 1}^{20}E(Y_i)=20×4.5 = 90$（分）。
学生乙从$4$个选项中随机选择一个，答对每道题的概率为$\frac{1}{4}$。
设学生乙答对的题数为$Z$，则$Z\sim B(20,\frac{1}{4})$。
由二项分布的期望公式$E(Z)=n× p$，可得$E(Z)=20×\frac{1}{4}=5$。
设每道题得分为$Z_i$（$i = 1,2,·s,20$），答对得$5$分，不答或答错得$0$分，设学生乙的总成绩为$\xi$，则$\xi=\sum_{i = 1}^{20}Z_i$。
因为$E(Z_i)=5×\frac{1}{4}+0×(1 - \frac{1}{4})=\frac{5}{4}$，所以$E(\xi)=E(\sum_{i = 1}^{20}Z_i)=\sum_{i = 1}^{20}E(Z_i)=20×\frac{5}{4}=25$（分）。
综上，学生甲成绩的期望为$90$分，学生乙成绩的期望为$25$分。

答案： 设学生甲答对的题数为$X$，则$X\sim B(20,0.9)$（二项分布）。
由二项分布的期望公式$E(X)=n× p$（$n$为试验次数，$p$为每次试验成功的概率），可得$E(X)=20×0.9 = 18$。
设每道题得分为$Y_i$（$i = 1,2,·s,20$），答对得$5$分，不答或答错得$0$分，设学生甲的总成绩为$\eta$，则$\eta = \sum_{i = 1}^{20}Y_i$。
因为$E(Y_i)=5×0.9+0×(1 - 0.9)= 4.5$，所以$E(\eta)=E(\sum_{i = 1}^{20}Y_i)=\sum_{i = 1}^{20}E(Y_i)=20×4.5 = 90$（分）。
学生乙从$4$个选项中随机选择一个，答对每道题的概率为$\frac{1}{4}$。
设学生乙答对的题数为$Z$，则$Z\sim B(20,\frac{1}{4})$。
由二项分布的期望公式$E(Z)=n× p$，可得$E(Z)=20×\frac{1}{4}=5$。
设每道题得分为$Z_i$（$i = 1,2,·s,20$），答对得$5$分，不答或答错得$0$分，设学生乙的总成绩为$\xi$，则$\xi=\sum_{i = 1}^{20}Z_i$。
因为$E(Z_i)=5×\frac{1}{4}+0×(1 - \frac{1}{4})=\frac{5}{4}$，所以$E(\xi)=E(\sum_{i = 1}^{20}Z_i)=\sum_{i = 1}^{20}E(Z_i)=20×\frac{5}{4}=25$（分）。
综上，学生甲成绩的期望为$90$分，学生乙成绩的期望为$25$分。