《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 如图，函数$y = f(x)$的图象在点$(5, f(5))$处的切线方程是$y = -x + 8$，则$f(5) + f'(5) =$
(C)


A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$2$
D.$0$

答案： C

例2 已知曲线$y = x + \frac{1}{x}$上的一点$A(2, \frac{5}{2})$，用切线斜率的定义求：
(1) 点$A$处的切线的斜率；
(2) 点$A$处的切线方程.
(1)$\frac{3}{4}$；(2)$3x - 4y+4 = 0$

答案：
(1)
根据切线斜率的定义，设$P(x_{0},y_{0})$是曲线$y = f(x)$上的一点，在点$P$处的切线斜率为$k=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$。
已知$y = x+\frac{1}{x}$，$x_{0} = 2$，$f(2)=\frac{5}{2}$，$f(2 + \Delta x)=(2+\Delta x)+\frac{1}{2+\Delta x}$。
则$\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\frac{(2+\Delta x)+\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{5}{2}}{\Delta x}$
$=\frac{2+\Delta x+\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{5}{2}}{\Delta x}=\frac{\Delta x+\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}}{\Delta x}$
$=1+\frac{\frac{2-(2 + \Delta x)}{2(2+\Delta x)}}{\Delta x}=1+\frac{- \Delta x}{2\Delta x(2+\Delta x)}=1-\frac{1}{2(2+\Delta x)}$。
所以$k=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\left(1-\frac{1}{2(2+\Delta x)}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
(2)
已知切线过点$A(2,\frac{5}{2})$，斜率$k = \frac{3}{4}$。
根据点斜式方程$y - y_{1}=k(x - x_{1})$（其中$(x_{1},y_{1})$为直线上一点，$k$为直线斜率），可得切线方程为$y-\frac{5}{2}=\frac{3}{4}(x - 2)$。
整理得$3x-4y + 4 = 0$。
综上，答案为：
(1)$\frac{3}{4}$；
(2)$3x - 4y+4 = 0$。

例3 已知曲线$C: y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{4}{3}$.
(1) 求过曲线$C$上横坐标为$2$的点的切线方程.
(2) (1)中的切线与曲线$C$是否还有其他公共点？如有，请求出；如没有，请说明理由.
(1) 首先求曲线$C$的导数：
$y^{\prime} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^{3} + \frac{4}{3}) = x^{2}$，
当$x = 2$时，切点坐标为$(2, \frac{1}{3} × 2^{3} + \frac{4}{3} = 4)$，即切点为$(2,4)$，
斜率$k = y^{\prime}|_{x = 2} = 2^{2} = 4$，
利用点斜式方程，切线方程为：
$y - 4 = 4(x - 2)$，
即$4x - y - 4 = 0$。
(2) 将切线方程$4x - y - 4 = 0$与曲线方程$y = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{4}{3}$联立，得到：
$\begin{cases}y = 4x - 4, \\y = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{4}{3}.\end{cases}$
消去$y$，得到：
$x^{3} - 12x + 16 = 0$，
因式分解得：
$(x - 2)(x^{2} + 2x - 8) = 0$，
即$(x - 2)(x + 4)(x - 2) = 0$，
解得$x = 2$或$x = -4$。
当$x = 2$时，$y = 4$，即切点$(2,4)$；
当$x = -4$时，$y = -20$，即另一个公共点为$(-4, -20)$。
所以，切线与曲线$C$除了切点外，还有其他公共点$(-4, -20)$。

答案：
(1)
首先求曲线$C$的导数：
$y^{\prime} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^{3} + \frac{4}{3}) = x^{2}$，
当$x = 2$时，切点坐标为$(2, \frac{1}{3} × 2^{3} + \frac{4}{3} = 4)$，即切点为$(2,4)$，
斜率$k = y^{\prime}|_{x = 2} = 2^{2} = 4$，
利用点斜式方程，切线方程为：
$y - 4 = 4(x - 2)$，
即$4x - y - 4 = 0$。
(2)
将切线方程$4x - y - 4 = 0$与曲线方程$y = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{4}{3}$联立，得到：
$\begin{cases}y = 4x - 4, \\y = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{4}{3}.\end{cases}$
消去$y$，得到：
$x^{3} - 12x + 16 = 0$，
因式分解得：
$(x - 2)(x^{2} + 2x - 8) = 0$，
即$(x - 2)(x + 4)(x - 2) = 0$，
解得$x = 2$或$x = -4$。
当$x = 2$时，$y = 4$，即切点$(2,4)$；
当$x = -4$时，$y = -20$，即另一个公共点为$(-4, -20)$。
所以，切线与曲线$C$除了切点外，还有其他公共点$(-4, -20)$。