《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例4 在抛物线$y=x^{2}$上取横坐标为$x_{1}=1$及$x_{2}=3$的两点，过这两点作抛物线的割线，问抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？并求切线与割线的距离.
抛物线上点$(2,4)$的切线平行于割线，切线与割线的距离为$\frac{\sqrt{17}}{17}$。

答案： 1. 由抛物线$y = x^2$，得两点坐标：当$x_1 = 1$时，$y_1 = 1$；当$x_2 = 3$时，$y_2 = 9$，即两点为$(1,1)$和$(3,9)$。
2. 割线斜率$k = \frac{9 - 1}{3 - 1} = 4$。
3. 抛物线导数$y' = 2x$，令切线斜率$2x = 4$，解得$x = 2$，则切点坐标为$(2, 2^2) = (2,4)$。
4. 割线方程：由点斜式$y - 1 = 4(x - 1)$，化简得$4x - y - 3 = 0$。
5. 切线方程：由点斜式$y - 4 = 4(x - 2)$，化简得$4x - y - 4 = 0$。
6. 两平行线距离$d = \frac{| - 3 - (-4)|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$。
抛物线上点$(2,4)$的切线平行于割线，切线与割线的距离为$\frac{\sqrt{17}}{17}$。

例$1$ 求下列函数的导数：
(1)$y = \sin\frac{\pi}{3}$；
(2)$y = 5^{x}$；
(3)$y=\frac{1}{x^{3}}$；
(4)$y = \sqrt[4]{x^{3}}$；
(5)$y = \log_{3}x$；
(6)$y = 1 - 2\sin^{2}\frac{x}{2}$.
(1)$y^\prime=(\sin\frac{\pi}{3})^\prime = 0$。
(2)$y^\prime=(5^{x})^\prime = 5^{x}\ln 5$。
(3)$y = \frac{1}{x^{3}}=x^{-3}$，$y^\prime= - 3x^{-4}=-\frac{3}{x^{4}}$。
(4)$y = \sqrt[4]{x^{3}}=x^{\frac{3}{4}}$，$y^\prime=\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}=\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$。
(5)$y^\prime=(\log_{3}x)^\prime=\frac{1}{x\ln 3}$。
(6)$y = 1 - 2\sin^{2}\frac{x}{2}=\cos x$，$y^\prime=(\cos x)^\prime = -\sin x$。

答案：
(1)$y^\prime=(\sin\frac{\pi}{3})^\prime = 0$。
(2)$y^\prime=(5^{x})^\prime = 5^{x}\ln 5$。
(3)$y = \frac{1}{x^{3}}=x^{-3}$，$y^\prime= - 3x^{-4}=-\frac{3}{x^{4}}$。
(4)$y = \sqrt[4]{x^{3}}=x^{\frac{3}{4}}$，$y^\prime=\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}=\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$。
(5)$y^\prime=(\log_{3}x)^\prime=\frac{1}{x\ln 3}$。
(6)$y = 1 - 2\sin^{2}\frac{x}{2}=\cos x$，$y^\prime=(\cos x)^\prime = -\sin x$。