《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例3 $5$张卡片上分别标有数字$1,2,3,4$，$5$，每次从中任取一张，连取两次.
(1)若第一次取出的卡片不放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率；
(2)若第一次取出的卡片放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率.
(1)设事件$A$表示“第二次取出的数字大于第一次取出的数字”，用$i,j$表示第一次和第二次取出的数字，样本空间$\varOmega =\left\{(i,j)\mid i,j=1,2,3,4,5且i\neq j\right\}$，$n(\varOmega)=A_{5}^{2}=20$。
事件$A$包含的样本点有：
当第一次取$1$时，第二次取$2,3,4,5$，共$4$种情况；
当第一次取$2$时，第二次取$3,4,5$，共$3$种情况；
当第一次取$3$时，第二次取$4,5$，共$2$种情况；
当第一次取$4$时，第二次取$5$，共$1$种情况。
所以$n(A)=4 + 3+2 + 1=10$。
则$P(A)=\frac{n(A)}{n(\varOmega)}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$。
(2)设事件$B$表示“第二次取出的数字大于第一次取出的数字”，样本空间$\varOmega=\left\{(i,j)\mid i,j=1,2,3,4,5\right\}$，$n(\varOmega)=5×5 = 25$。
设$A_{i}$表示“第一次取出的数字为$i$”，$i = 1,2,3,4,5$，且$P(A_{i})=\frac{1}{5}$，$i = 1,2,3,4,5$。
$P(B\mid A_{i})$表示在第一次取出数字为$i$的条件下，第二次取出的数字大于$i$的概率，$P(B\mid A_{i})=\frac{5 - i}{5}$。
由全概率公式$P(B)=\sum_{i = 1}^{5}P(A_{i})P(B\mid A_{i})$
$=\frac{1}{5}×\frac{4}{5}+\frac{1}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{5}×\frac{1}{5}+\frac{1}{5}×\frac{0}{5}$
$=\frac{4 + 3+2 + 1+0}{25}=\frac{2}{5}$。
综上，(1)的概率为$\frac{1}{2}$；(2)的概率为$\frac{2}{5}$。

答案：
(1)
设事件$A$表示“第二次取出的数字大于第一次取出的数字”，用$i,j$表示第一次和第二次取出的数字，样本空间$\varOmega =\left\{(i,j)\mid i,j=1,2,3,4,5且i\neq j\right\}$，$n(\varOmega)=A_{5}^{2}=20$。
事件$A$包含的样本点有：
当第一次取$1$时，第二次取$2,3,4,5$，共$4$种情况；
当第一次取$2$时，第二次取$3,4,5$，共$3$种情况；
当第一次取$3$时，第二次取$4,5$，共$2$种情况；
当第一次取$4$时，第二次取$5$，共$1$种情况。
所以$n(A)=4 + 3+2 + 1=10$。
则$P(A)=\frac{n(A)}{n(\varOmega)}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$。
(2)
设事件$B$表示“第二次取出的数字大于第一次取出的数字”，样本空间$\varOmega=\left\{(i,j)\mid i,j=1,2,3,4,5\right\}$，$n(\varOmega)=5×5 = 25$。
设$A_{i}$表示“第一次取出的数字为$i$”，$i = 1,2,3,4,5$，且$P(A_{i})=\frac{1}{5}$，$i = 1,2,3,4,5$。
$P(B\mid A_{i})$表示在第一次取出数字为$i$的条件下，第二次取出的数字大于$i$的概率，$P(B\mid A_{i})=\frac{5 - i}{5}$。
由全概率公式$P(B)=\sum_{i = 1}^{5}P(A_{i})P(B\mid A_{i})$
$=\frac{1}{5}×\frac{4}{5}+\frac{1}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{5}×\frac{1}{5}+\frac{1}{5}×\frac{0}{5}$
$=\frac{4 + 3+2 + 1+0}{25}=\frac{2}{5}$。
综上，
(1)的概率为$\frac{1}{2}$；
(2)的概率为$\frac{2}{5}$。