《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例5　在棱长为1的正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$M,N,E,F$分别是棱$A_1B_1,A_1D_1,B_1C_1,C_1D_1$的中点.证明平面$AMN//$平面$EFDB$，并求平面$AMN$与平面$EFDB$的距离.

证明平面$AMN//$平面$EFDB$：
1. 建立坐标系：以$A$为原点，$AB,AD,AA_1$为$x,y,z$轴正方向，棱长为1，各点坐标：$A(0,0,0)$，$M\left(\frac{1}{2},0,1\right)$，$N\left(0,\frac{1}{2},1\right)$，$E\left(1,\frac{1}{2},1\right)$，$F\left(\frac{1}{2},1,1\right)$，$D(0,1,0)$，$B(1,0,0)$。
2. 求平面$AMN$的法向量：
向量$\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$，$\overrightarrow{AN}=\left(0,\frac{1}{2},1\right)$。设法向量$\boldsymbol{n}_1=(x_1,y_1,z_1)$，则
$\begin{cases}\boldsymbol{n}_1·\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}x_1+z_1=0\\\boldsymbol{n}_1·\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}y_1+z_1=0\end{cases}$，令$z_1=1$，得$\boldsymbol{n}_1=(-2,-2,1)$。
3. 求平面$EFDB$的法向量：
向量$\overrightarrow{DB}=(1,-1,0)$，$\overrightarrow{DF}=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$。设法向量$\boldsymbol{n}_2=(x_2,y_2,z_2)$，则
$\begin{cases}\boldsymbol{n}_2·\overrightarrow{DB}=x_2-y_2=0\\\boldsymbol{n}_2·\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}x_2+z_2=0\end{cases}$，令$x_2=2$，得$\boldsymbol{n}_2=(2,2,-1)$。
4. 证明法向量共线：
因$\boldsymbol{n}_1=-\boldsymbol{n}_2$，故$\boldsymbol{n}_1//\boldsymbol{n}_2$，则平面$AMN//$平面$EFDB$。
求平面$AMN$与平面$EFDB$的距离：
取平面$AMN$上点$A(0,0,0)$，平面$EFDB$的法向量$\boldsymbol{n}_2=(2,2,-1)$，平面$EFDB$上点$B(1,0,0)$，向量$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$。
距离$d=\frac{|\overrightarrow{AB}·\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_2|}=\frac{|2×1+2×0+(-1)×0|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}=\frac{2}{3}$。
结论：平面$AMN//$平面$EFDB$，距离为$\frac{2}{3}$。

答案： 证明平面$AMN//$平面$EFDB$：
1. 建立坐标系：以$A$为原点，$AB,AD,AA_1$为$x,y,z$轴正方向，棱长为1，各点坐标：$A(0,0,0)$，$M\left(\frac{1}{2},0,1\right)$，$N\left(0,\frac{1}{2},1\right)$，$E\left(1,\frac{1}{2},1\right)$，$F\left(\frac{1}{2},1,1\right)$，$D(0,1,0)$，$B(1,0,0)$。
2. 求平面$AMN$的法向量：
向量$\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$，$\overrightarrow{AN}=\left(0,\frac{1}{2},1\right)$。设法向量$\boldsymbol{n}_1=(x_1,y_1,z_1)$，则
$\begin{cases}\boldsymbol{n}_1·\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}x_1+z_1=0\\\boldsymbol{n}_1·\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}y_1+z_1=0\end{cases}$，令$z_1=1$，得$\boldsymbol{n}_1=(-2,-2,1)$。
3. 求平面$EFDB$的法向量：
向量$\overrightarrow{DB}=(1,-1,0)$，$\overrightarrow{DF}=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$。设法向量$\boldsymbol{n}_2=(x_2,y_2,z_2)$，则
$\begin{cases}\boldsymbol{n}_2·\overrightarrow{DB}=x_2-y_2=0\\\boldsymbol{n}_2·\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}x_2+z_2=0\end{cases}$，令$x_2=2$，得$\boldsymbol{n}_2=(2,2,-1)$。
4. 证明法向量共线：
因$\boldsymbol{n}_1=-\boldsymbol{n}_2$，故$\boldsymbol{n}_1//\boldsymbol{n}_2$，则平面$AMN//$平面$EFDB$。
求平面$AMN$与平面$EFDB$的距离：
取平面$AMN$上点$A(0,0,0)$，平面$EFDB$的法向量$\boldsymbol{n}_2=(2,2,-1)$，平面$EFDB$上点$B(1,0,0)$，向量$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$。
距离$d=\frac{|\overrightarrow{AB}·\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_2|}=\frac{|2×1+2×0+(-1)×0|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}=\frac{2}{3}$。
结论：平面$AMN//$平面$EFDB$，距离为$\frac{2}{3}$。

例6　如图，在四面体$ABCD$中，平面$ABC\perp$平面$BCD$，$\triangle BAC$与$\triangle BCD$均为等腰直角三角形，且$\angle BAC = \angle BCD = 90°$，$BC = 2$，点$P$在线段$AB$(不含端点)上运动.若线段$CD$(不含端点)上存在点$Q$，使异面直线$PQ$与$AC$所成的角为$30°$，求线段$AP$的长度的取值范围.

答案： 设$BC$的中点为$O$，连接$OA$，
因为$\angle BAC=90^{\circ}$，$BC = 2$，
所以$OA = 1$，
建立空间直角坐标系$O - xyz$，
则$O(0,0,0)$，$A(0,0,1)$，$B(-1,0,0)$，$C(1,0,0)$，
设$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}(0\lt\lambda\lt1)$，
则$P(s,0,t)$，其中$s = -\lambda$，$t = 1-\lambda$，即$t - s = 1$，
设$Q(1,m,0)(m\gt0)$，
则$\overrightarrow{PQ}=(1 - s,m,-t)$，$\overrightarrow{AC}=(1,0,-1)$，
因为异面直线$PQ$与$AC$所成的角为$30^{\circ}$，
所以$\cos30^{\circ}=\frac{\vert\overrightarrow{PQ}·\overrightarrow{AC}\vert}{\vert\overrightarrow{PQ}\vert\vert\overrightarrow{AC}\vert}=\frac{\vert1 - s + t\vert}{\sqrt{(1 - s)^2 + m^2 + t^2}·\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$\frac{\sqrt{6}}{2}\sqrt{(1 - s)^2 + m^2 + t^2}=\vert1 - s + t\vert$，
两边平方可得$3[(1 - s)^2 + m^2 + t^2]=(1 - s + t)^2$，
即$3m^2 = 4t(1 - s) - (1 - s)^2 - t^2\gt0$，
将$t = 1 + s$代入可得：
$3m^2 = 4(1 + s)(1 - s) - (1 - s)^2 - (1 + s)^2$
$= 4 - 4s^2 - (1 - 2s + s^2) - (1 + 2s + s^2)$
$= 4 - 4s^2 - 1 + 2s - s^2 - 1 - 2s - s^2$
$= 2 - 6s^2\gt0$
即$6s^2\lt2$，
$s^2\lt\frac{1}{3}$，
解得$-\frac{\sqrt{3}}{3}\lt s\lt\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又因为$s\lt0$，
所以$-\frac{\sqrt{3}}{3}\lt s\lt0$，
$\vert\overrightarrow{PA}\vert=\sqrt{(-s)^2 + 0^2 + (1 - t)^2}=\sqrt{s^2 + s^2}=\sqrt{2}\vert s\vert$，
所以$\vert\overrightarrow{PA}\vert\in(0,\frac{\sqrt{6}}{3})$。
综上，线段$AP$的长度的取值范围是$(0,\frac{\sqrt{6}}{3})$。