《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例4 求证：当$x＞0$时，$\ln(x + 1)＞x-\frac{1}{2}x^{2}$.
设$f(x)=\ln(x + 1)-x+\frac{1}{2}x^{2}$，$x ＞ 0$。
求导得$f^\prime(x)=\frac{1}{x + 1}-1 + x$，化简：
$\begin{aligned}f^\prime(x)&=\frac{1-(x + 1)+x(x + 1)}{x + 1}\\&=\frac{1 - x - 1 + x^{2}+x}{x + 1}\\&=\frac{x^{2}}{x + 1}\end{aligned}$
当$x＞0$时，$x^{2}＞0$，$x + 1＞0$，则$f^\prime(x)=\frac{x^{2}}{x + 1}＞0$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
又$f(0)=\ln(0 + 1)-0+\frac{1}{2}×0^{2}=0$，因为$f(x)$在$(0,+\infty)$单调递增，所以当$x＞0$时，$f(x)＞f(0)=0$，即$\ln(x + 1)-x+\frac{1}{2}x^{2}＞0$，故$\ln(x + 1)＞x-\frac{1}{2}x^{2}$。
综上，当$x ＞ 0$时，$\ln(x + 1)＞x-\frac{1}{2}x^{2}$得证。

答案： 设$f(x)=\ln(x + 1)-x+\frac{1}{2}x^{2}$，$x ＞ 0$。
求导得$f^\prime(x)=\frac{1}{x + 1}-1 + x$，化简：
$\begin{aligned}f^\prime(x)&=\frac{1-(x + 1)+x(x + 1)}{x + 1}\\&=\frac{1 - x - 1 + x^{2}+x}{x + 1}\\&=\frac{x^{2}}{x + 1}\end{aligned}$
当$x＞0$时，$x^{2}＞0$，$x + 1＞0$，则$f^\prime(x)=\frac{x^{2}}{x + 1}＞0$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
又$f(0)=\ln(0 + 1)-0+\frac{1}{2}×0^{2}=0$，因为$f(x)$在$(0,+\infty)$单调递增，所以当$x＞0$时，$f(x)＞f(0)=0$，即$\ln(x + 1)-x+\frac{1}{2}x^{2}＞0$，故$\ln(x + 1)＞x-\frac{1}{2}x^{2}$。
综上，当$x ＞ 0$时，$\ln(x + 1)＞x-\frac{1}{2}x^{2}$得证。