《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 如图，已知正三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$
的所有棱长都为2，$D$为$CC_1$的中点. 求证：$AB_1\perp$平面$A_1BD$.
以$B$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，过$B$作底面$ABC$的垂线为$z$轴，建立空间直角坐标系。
各点坐标：$B(0,0,0)$，$C(2,0,0)$，$A(1,\sqrt{3},0)$，$B_1(0,0,2)$，$A_1(1,\sqrt{3},2)$，$D(2,0,1)$。
向量：$\overrightarrow{AB_1}=(-1,-\sqrt{3},2)$，$\overrightarrow{A_1B}=(-1,-\sqrt{3},-2)$，$\overrightarrow{BD}=(2,0,1)$。
计算数量积：
$\overrightarrow{AB_1}·\overrightarrow{A_1B}=(-1)(-1)+(-\sqrt{3})(-\sqrt{3})+2(-2)=1 + 3 - 4=0$，故$\overrightarrow{AB_1}\perp\overrightarrow{A_1B}$。
$\overrightarrow{AB_1}·\overrightarrow{BD}=(-1)(2)+(-\sqrt{3})(0)+2(1)=-2 + 0 + 2=0$，故$\overrightarrow{AB_1}\perp\overrightarrow{BD}$。
因为$A_1B\cap BD=B$，$A_1B,BD\subset$平面$A_1BD$，所以$AB_1\perp$平面$A_1BD$。
综上，$AB_1\perp$平面$A_1BD$得证。

答案： 以$B$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，过$B$作底面$ABC$的垂线为$z$轴，建立空间直角坐标系。
各点坐标：$B(0,0,0)$，$C(2,0,0)$，$A(1,\sqrt{3},0)$，$B_1(0,0,2)$，$A_1(1,\sqrt{3},2)$，$D(2,0,1)$。
向量：$\overrightarrow{AB_1}=(-1,-\sqrt{3},2)$，$\overrightarrow{A_1B}=(-1,-\sqrt{3},-2)$，$\overrightarrow{BD}=(2,0,1)$。
计算数量积：
$\overrightarrow{AB_1}·\overrightarrow{A_1B}=(-1)(-1)+(-\sqrt{3})(-\sqrt{3})+2(-2)=1 + 3 - 4=0$，故$\overrightarrow{AB_1}\perp\overrightarrow{A_1B}$。
$\overrightarrow{AB_1}·\overrightarrow{BD}=(-1)(2)+(-\sqrt{3})(0)+2(1)=-2 + 0 + 2=0$，故$\overrightarrow{AB_1}\perp\overrightarrow{BD}$。
因为$A_1B\cap BD=B$，$A_1B,BD\subset$平面$A_1BD$，所以$AB_1\perp$平面$A_1BD$。
综上，$AB_1\perp$平面$A_1BD$得证。

例3 一个三棱锥被平行于底面$ABC$的平面$A_1B_1C_1$所截，得到如图所示几何体. 已知$\angle BAC = 90^{\circ}$，$A_1A\perp$平面$ABC$，$A_1A = \sqrt{3}$，$AB = AC = 2A_1C_1 = 2$，$D$为$BC$的中点. 求证：平面$A_1AD\perp$平面$BCC_1B_1$.

因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC = 2$，$D$为$BC$中点，所以$AD\perp BC$。
因为$A_1A\perp$平面$ABC$，$BC\subset$平面$ABC$，所以$A_1A\perp BC$。
因为$AD\cap A_1A = A$，$AD,A_1A\subset$平面$A_1AD$，所以$BC\perp$平面$A_1AD$。
因为$BC\subset$平面$BCC_1B_1$，所以平面$A_1AD\perp$平面$BCC_1B_1$。

答案： 因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC = 2$，$D$为$BC$中点，所以$AD\perp BC$。
因为$A_1A\perp$平面$ABC$，$BC\subset$平面$ABC$，所以$A_1A\perp BC$。
因为$AD\cap A_1A = A$，$AD,A_1A\subset$平面$A_1AD$，所以$BC\perp$平面$A_1AD$。
因为$BC\subset$平面$BCC_1B_1$，所以平面$A_1AD\perp$平面$BCC_1B_1$。