《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例4 某市体育局为了解广大民众对奥运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，并从大批参与者中随机抽取$200$名幸运参与者，统计他们的得分（满分$100$分），结果如下：

若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设$\mu,\sigma$分别为这$200$人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求$\mu,\sigma$的值（$\mu,\sigma$的值四舍五入取整数），并计算$P(51 ＜ X ＜ 93)$.
65；14；0.82

答案： 计算平均值μ
各组中点值分别为：35,45,55,65,75,85,95，频数依次为5,30,40,50,45,20,10。
$\mu = \frac{35 × 5 + 45 × 30 + 55 × 40 + 65 × 50 + 75 × 45 + 85 × 20 + 95 × 10}{200} = \frac{13000}{200} = 65$
计算标准差σ
方差$s^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2 f_i}{n}$，其中$\mu = 65$，$n=200$：
$\begin{aligned}\sum (x_i - \mu)^2 f_i &= (-30)^2 × 5 + (-20)^2 × 30 + (-10)^2 × 40 + 0^2 × 50 + 10^2 × 45 + 20^2 × 20 + 30^2 × 10 \\&= 4500 + 12000 + 4000 + 0 + 4500 + 8000 + 9000 = 42000\end{aligned}$
$s^2 = \frac{42000}{200} = 210 \implies \sigma = \sqrt{210} \approx 14$
计算$P(51 ＜ X ＜ 93)$
$X \sim N(65, 14^2)$，标准化得$Z = \frac{X - 65}{14}$：
$P(51 ＜ X ＜ 93) = P\left(\frac{51 - 65}{14} ＜ Z ＜ \frac{93 - 65}{14}\right) = P(-1 ＜ Z ＜ 2)$
$P(-1 ＜ Z ＜ 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0.9772 - (1 - 0.8413) = 0.8185 \approx 0.819$
最终答案
$\mu = 65$，$\sigma = 14$，$P(51 ＜ X ＜ 93) \approx 0.82$
（注：概率结果根据标准正态分布表取值，$\Phi(1)=0.8413$，$\Phi(2)=0.9772$）
65；14；0.82

例5 某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用$300$名员工，其中$275$个高薪职位和$25$个普薪职位.实际报名人数为$2000$，考试满分为$400$分（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布）.考试后考试成绩的部分统计结果如下：
考试平均成绩是$180$分，$360$分及其以上的高分考生$30$名.
(1)最低录取分数是多少？（结果保留整数）
(2)考生甲的成绩为$286$分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由.
参考资料：(1)当$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$时，令$Y = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则$Y\sim N(0,1)$.
(2)当$Y\sim N(0,1)$时，$P(Y \leq 2.17)\approx0.985$，$P(Y \leq 1.28)\approx0.9$，$P(Y \leq 1.09)\approx0.863$，$P(Y \leq 1.04)\approx0.85$.
(1)最低录取分数是$266$分；(2)甲能获得高薪职位。

答案：
(1)最低录取分数是$266$分；
(2)甲能获得高薪职位。