《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例 2 设曲线$y = e^{ax}$在点$(0,1)$处的切线与直线$x + 2y + 1 = 0$垂直,则$a =$2.

答案： 2（这里因为是填空形式直接写数值，若按选择题格式假设选项中正确选项为对应2的选项则填对应标识，本题按要求直接填数值结果）

例 3 已知函数$y = a\sin x + b$的图象经过点$A(0,0)$和$B(\frac{3}{2}\pi, - 1)$,试求曲线$y = a\sin(2x + \frac{\pi}{6}) + b$在其上一点$(\frac{\pi}{4},c)$处的切线方程.
由已知函数$y = a\sin x + b$的图象经过点$A(0,0)$和$B(\frac{3}{2}\pi, - 1)$，
将点代入函数得：
$\begin{cases}a\sin 0 + b = 0, \\a\sin\frac{3\pi}{2} + b = -1.\end{cases}$
即：
$\begin{cases}b = 0, \\-a + b = -1.\end{cases}$
解得$a = 1,b = 0$。
因此，曲线方程为$y = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$。
将点$(\frac{\pi}{4},c)$代入曲线方程得：
$c = \sin(2 × \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
对曲线方程$y = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$求导得：
$y^{\prime} = \cos(2x + \frac{\pi}{6}) · (2x + \frac{\pi}{6})^\prime = 2\cos(2x + \frac{\pi}{6})$
将$x = \frac{\pi}{4}$代入导数表达式得切线斜率：
$k = 2\cos(2 × \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = -2\sin\frac{\pi}{6} = -1$
利用点斜式方程$y - y_1 = k(x - x_1)$，其中$(x_1, y_1) = (\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$，得切线方程为：
$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - (x - \frac{\pi}{4})$
即：
$x + y - \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

答案： 由已知函数$y = a\sin x + b$的图象经过点$A(0,0)$和$B(\frac{3}{2}\pi, - 1)$，
将点代入函数得：
$\begin{cases}a\sin 0 + b = 0, \\a\sin\frac{3\pi}{2} + b = -1.\end{cases}$
即：
$\begin{cases}b = 0, \\-a + b = -1.\end{cases}$
解得$a = 1,b = 0$。
因此，曲线方程为$y = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$。
将点$(\frac{\pi}{4},c)$代入曲线方程得：
$c = \sin(2 × \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
对曲线方程$y = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$求导得：
$y^{\prime} = \cos(2x + \frac{\pi}{6}) · (2x + \frac{\pi}{6})^\prime = 2\cos(2x + \frac{\pi}{6})$
将$x = \frac{\pi}{4}$代入导数表达式得切线斜率：
$k = 2\cos(2 × \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = -2\sin\frac{\pi}{6} = -1$
利用点斜式方程$y - y_1 = k(x - x_1)$，其中$(x_1, y_1) = (\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$，得切线方程为：
$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - (x - \frac{\pi}{4})$
即：
$x + y - \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$