《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$O$为$A_{1}C$上一点，且$\overrightarrow{A_{1}O}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A_{1}C}$，$BD$与$AC$交于点$M$.求证：$C_{1},O,M$三点共线.

设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$为空间基底，且$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=1$，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}=0$。
$A_1$位置向量为$\boldsymbol{c}$，$C$位置向量为$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{A_1C}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})-\boldsymbol{c}$。
$\overrightarrow{A_1O}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A_1C}=\frac{2}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$，$O$位置向量为$\boldsymbol{c}+\frac{2}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=\frac{2}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{c}$。
$C_1$位置向量为$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$，$M$为$AC$中点，位置向量为$\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$。
$\overrightarrow{C_1O}=(\frac{2}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{c})-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}-\frac{1}{3}\boldsymbol{b}-\frac{2}{3}\boldsymbol{c}$。
$\overrightarrow{C_1M}=(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b})-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$。
$\overrightarrow{C_1O}=\frac{2}{3}\overrightarrow{C_1M}$，故$\overrightarrow{C_1O}//\overrightarrow{C_1M}$，又$C_1$为公共点，所以$C_1,O,M$三点共线。

答案： 设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$为空间基底，且$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=1$，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}=0$。
$A_1$位置向量为$\boldsymbol{c}$，$C$位置向量为$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{A_1C}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})-\boldsymbol{c}$。
$\overrightarrow{A_1O}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A_1C}=\frac{2}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$，$O$位置向量为$\boldsymbol{c}+\frac{2}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=\frac{2}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{c}$。
$C_1$位置向量为$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$，$M$为$AC$中点，位置向量为$\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$。
$\overrightarrow{C_1O}=(\frac{2}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{c})-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}-\frac{1}{3}\boldsymbol{b}-\frac{2}{3}\boldsymbol{c}$。
$\overrightarrow{C_1M}=(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b})-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$。
$\overrightarrow{C_1O}=\frac{2}{3}\overrightarrow{C_1M}$，故$\overrightarrow{C_1O}//\overrightarrow{C_1M}$，又$C_1$为公共点，所以$C_1,O,M$三点共线。

例3 已知空间四边形$ABCD$的每条边和对角线长都等于$1$，点$E,F$分别是$AB,AD$的中点，计算：
(1)$\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{BA}=$1/4；(2)$\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{BD}=$1/2；
(3)$\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{DC}=$-1/4；(4)$\overrightarrow{BF}·\overrightarrow{CE}=$-1/8.

答案：
(1) $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$，$|\overrightarrow{AB}|=1$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AB}=1×1×\cos60°=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{BD}·\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2})×(-1)=\frac{1}{4}$。
(2) $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BD}|^2=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
(3) $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BD}·\overrightarrow{DC}=1×1×\cos120°=-\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$。
(4) $\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$，展开得$-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2+\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{8}$。
1/4；1/2；-1/4；-1/8