《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例 2 设$m = 3i + 5j + 8k$，$n = 2i - 4j - 7k$，$p = 5i + j - 4k$，求向量$a = 4m + 3n - p$在$x$轴上的投影及在$y$轴上的分向量.
解：
1. 计算向量 $a = 4m + 3n - p$
已知 $m = 3i + 5j + 8k$，$n = 2i - 4j - 7k$，$p = 5i + j - 4k$
代入得：
$ \begin{aligned} a &= 4(3i + 5j + 8k) + 3(2i - 4j - 7k) - (5i + j - 4k) \\ &= (12i + 20j + 32k) + (6i - 12j - 21k) - (5i + j - 4k) \\ &= (12 + 6 - 5)i + (20 - 12 - 1)j + (32 - 21 + 4)k \\ &= 13i + 7j + 15k \end{aligned} $
2. 求在 $x$ 轴上的投影
向量 $a = 13i + 7j + 15k$ 的 $x$ 轴分量为 $13$，故在 $x$ 轴上的投影为 $13$。
3. 求在 $y$ 轴上的分向量
向量 $a$ 的 $y$ 轴分量为 $7j$，故在 $y$ 轴上的分向量为 $7j$。
结论：
在 $x$ 轴上的投影：$\boxed{13}$
在 $y$ 轴上的分向量：$\boxed{7j}$

答案： 解：
1. 计算向量 $a = 4m + 3n - p$
已知 $m = 3i + 5j + 8k$，$n = 2i - 4j - 7k$，$p = 5i + j - 4k$
代入得：
$ \begin{aligned} a &= 4(3i + 5j + 8k) + 3(2i - 4j - 7k) - (5i + j - 4k) \\ &= (12i + 20j + 32k) + (6i - 12j - 21k) - (5i + j - 4k) \\ &= (12 + 6 - 5)i + (20 - 12 - 1)j + (32 - 21 + 4)k \\ &= 13i + 7j + 15k \end{aligned} $
2. 求在 $x$ 轴上的投影
向量 $a = 13i + 7j + 15k$ 的 $x$ 轴分量为 $13$，故在 $x$ 轴上的投影为 $13$。
3. 求在 $y$ 轴上的分向量
向量 $a$ 的 $y$ 轴分量为 $7j$，故在 $y$ 轴上的分向量为 $7j$。
结论：
在 $x$ 轴上的投影：$\boxed{13}$
在 $y$ 轴上的分向量：$\boxed{7j}$

例 3 设有向量$P_1\overrightarrow{P_2}$，已知$|P_1\overrightarrow{P_2}| = 2$，它与$x$轴和$y$轴的夹角分别为$\frac{\pi}{3}$和$\frac{\pi}{4}$，如果$P_1$的坐标为$(1,0,3)$，求$P_2$的坐标.
设向量$\overrightarrow{P_1P_2}$的方向角为$\alpha,\beta,\gamma$，已知$\alpha=\frac{\pi}{3},\beta=\frac{\pi}{4},|\overrightarrow{P_1P_2}|=2$。
1. 计算方向余弦：
$\cos\alpha=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，$\cos\beta=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
由方向余弦性质$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$，得：
$\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\cos^2\gamma=1\implies\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\cos^2\gamma=1\implies\cos^2\gamma=\frac{1}{4}\implies\cos\gamma=\pm\frac{1}{2}$。
2. 求$\overrightarrow{P_1P_2}$的坐标：
设$P_2=(x,y,z)$，则$\overrightarrow{P_1P_2}=(x-1,y,z-3)$。
$\overrightarrow{P_1P_2}=|\overrightarrow{P_1P_2}|(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=(2×\frac{1}{2},2×\frac{\sqrt{2}}{2},2×(\pm\frac{1}{2}))=(1,\sqrt{2},\pm1)$。
3. 解得$P_2$坐标：
$x-1=1\implies x=2$；$y=\sqrt{2}$；$z-3=\pm1\implies z=4$或$z=2$。
综上，$P_2$的坐标为$(2,\sqrt{2},4)$或$(2,\sqrt{2},2)$。

答案： 设向量$\overrightarrow{P_1P_2}$的方向角为$\alpha,\beta,\gamma$，已知$\alpha=\frac{\pi}{3},\beta=\frac{\pi}{4},|\overrightarrow{P_1P_2}|=2$。
1. 计算方向余弦：
$\cos\alpha=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，$\cos\beta=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
由方向余弦性质$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$，得：
$\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\cos^2\gamma=1\implies\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\cos^2\gamma=1\implies\cos^2\gamma=\frac{1}{4}\implies\cos\gamma=\pm\frac{1}{2}$。
2. 求$\overrightarrow{P_1P_2}$的坐标：
设$P_2=(x,y,z)$，则$\overrightarrow{P_1P_2}=(x-1,y,z-3)$。
$\overrightarrow{P_1P_2}=|\overrightarrow{P_1P_2}|(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=(2×\frac{1}{2},2×\frac{\sqrt{2}}{2},2×(\pm\frac{1}{2}))=(1,\sqrt{2},\pm1)$。
3. 解得$P_2$坐标：
$x-1=1\implies x=2$；$y=\sqrt{2}$；$z-3=\pm1\implies z=4$或$z=2$。
综上，$P_2$的坐标为$(2,\sqrt{2},4)$或$(2,\sqrt{2},2)$。