《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例3 若$A(-1, 2, 3)$, $B(2, 1, 4)$, $C(m, n, 1)$三点共线, 求$m + n$的值.
已知点$A(-1, 2, 3)$，$B(2, 1, 4)$，$C(m, n, 1)$，
则向量$\overrightarrow{AB} = (2 - (-1), 1 - 2, 4 - 3) = (3, -1, 1)$，
向量$\overrightarrow{AC} = (m - (-1), n - 2, 1 - 3) = (m + 1, n - 2, -2)$。
由于$A$，$B$，$C$三点共线，
根据向量共线的性质，存在实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{AC} = \lambda\overrightarrow{AB}$。
即：
$(m + 1, n - 2, -2) = \lambda(3, -1, 1)$，
由此，可以得到以下三个方程：
$m + 1 = 3\lambda$，
$n - 2 = -\lambda$，
$-2 = \lambda$，
从第三个方程，可以直接得出$\lambda = -2$。
将$\lambda = -2$代入前两个方程，得到：
$m + 1 = -6 \Rightarrow m = -7$，
$n - 2 = 2 \Rightarrow n = 4$，
所以，$m + n = -7 + 4 = -3$。
故答案为：-3。

答案： 已知点$A(-1, 2, 3)$，$B(2, 1, 4)$，$C(m, n, 1)$，
则向量$\overrightarrow{AB} = (2 - (-1), 1 - 2, 4 - 3) = (3, -1, 1)$，
向量$\overrightarrow{AC} = (m - (-1), n - 2, 1 - 3) = (m + 1, n - 2, -2)$。
由于$A$，$B$，$C$三点共线，
根据向量共线的性质，存在实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{AC} = \lambda\overrightarrow{AB}$。
即：
$(m + 1, n - 2, -2) = \lambda(3, -1, 1)$，
由此，可以得到以下三个方程：
$m + 1 = 3\lambda$，
$n - 2 = -\lambda$，
$-2 = \lambda$，
从第三个方程，可以直接得出$\lambda = -2$。
将$\lambda = -2$代入前两个方程，得到：
$m + 1 = -6 \Rightarrow m = -7$，
$n - 2 = 2 \Rightarrow n = 4$，
所以，$m + n = -7 + 4 = -3$。
故答案为：-3。

例4 已知$\boldsymbol{a} = (2, -1, 3)$, $\boldsymbol{b} = (-1, 4, -2)$, $\boldsymbol{c} = (7, 5, \lambda)$, 若$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$三向量共面，则实数$\lambda$等于$\frac{65}{7}$.

答案： 由共面向量基本定理，设$\boldsymbol{c}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$，其中$x,y\in\mathbb{R}$。
已知$\boldsymbol{a}=(2,-1,3)$，$\boldsymbol{b}=(-1,4,-2)$，$\boldsymbol{c}=(7,5,\lambda)$，则：
$\begin{cases}2x - y = 7 \\-x + 4y = 5 \\3x - 2y = \lambda\end{cases}$
解前两式：由$2x - y = 7$得$y = 2x - 7$，代入$-x + 4y = 5$：
$-x + 4(2x - 7) = 5 \implies -x + 8x - 28 = 5 \implies 7x = 33 \implies x = \frac{33}{7}$
则$y = 2×\frac{33}{7} - 7 = \frac{66}{7} - \frac{49}{7} = \frac{17}{7}$。
代入第三式：$\lambda = 3×\frac{33}{7} - 2×\frac{17}{7} = \frac{99}{7} - \frac{34}{7} = \frac{65}{7}$。
$\frac{65}{7}$

例5 空间四点$A(2, 3, 6)$, $B(4, 3, 2)$, $C(0, 0, 1)$, $D(2, 0, 2)$的位置关系为 (C)
A.共线
B.共面
C.不共面
D.无法确定

答案： C