《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 已知函数$f(x)= -x^{3}+ax^{2}+1(a\in R)$，且该函数图象在点$(\frac{2}{3},f(\frac{2}{3}))$处的切线垂直于$y$轴.
(1)求实数$a$的值；
(2)求$f(x)$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值.
(1) $a=1$；
(2) 最大值$\frac{31}{27}$，最小值$-3$.

答案：
(1) 对函数$f(x)=-x^3+ax^2+1$求导，得$f'(x)=-3x^2+2ax$。
因为点$(\frac{2}{3},f(\frac{2}{3}))$处的切线垂直于$y$轴，切线斜率为$0$，即$f'(\frac{2}{3})=0$。
代入$x=\frac{2}{3}$：
$f'(\frac{2}{3})=-3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 2a\left(\frac{2}{3}\right)=0 \implies -3·\frac{4}{9} + \frac{4a}{3}=0 \implies -\frac{4}{3} + \frac{4a}{3}=0 \implies 4a=4 \implies a=1$
(2) 由
(1)知$f(x)=-x^3+x^2+1$，求导得$f'(x)=-3x^2+2x$。
令$f'(x)=0$，解得$x=0$或$x=\frac{2}{3}$，均在区间$[0,2]$内。
当$x\in(0,\frac{2}{3})$时，$f'(x)＞0$，函数单调递增；
当$x\in(\frac{2}{3},2)$时，$f'(x)＜0$，函数单调递减。
计算区间端点及极值点函数值：
$f(0)=-0^3+0^2+1=1$；
$f(\frac{2}{3})=-\left(\frac{2}{3}\right)^3+\left(\frac{2}{3}\right)^2+1=-\frac{8}{27}+\frac{4}{9}+1=\frac{31}{27}$；
$f(2)=-2^3+2^2+1=-8+4+1=-3$。
比较得：最大值为$\frac{31}{27}$，最小值为$-3$。
答案
(1) $a=1$；
(2) 最大值$\frac{31}{27}$，最小值$-3$。