《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例 1 某人走路的位移与时间 $(1\sim34\ s)$ 的图象如图所示：

问：从 $A$ 到 $B$ 的位移是多少？从 $B$ 到 $C$ 的位移是多少？该人在 $AB$ 与 $BC$ 两段中哪一段速度较快？
解析从 $A$ 到 $B$ 的位移：
$\Delta s = s_B - s_A = 18.6 - 3.5 = 15.1\ m$。
从 $B$ 到 $C$ 的位移：
$\Delta s = s_C - s_B = 33.4 - 18.6 = 14.8\ m$。计算 $A$ 到 $B$ 的速度：
$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{15.1}{32 - 1} = \frac{15.1}{31} \approx 0.487\ m/s$。
计算 $B$ 到 $C$ 的速度：
$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{14.8}{34 - 32} = \frac{14.8}{2} = 7.4\ m/s$。
该人在 $BC$ 段速度较快。

答案： 从 $A$ 到 $B$ 的位移：
$\Delta s = s_B - s_A = 18.6 - 3.5 = 15.1\ m$。
从 $B$ 到 $C$ 的位移：
$\Delta s = s_C - s_B = 33.4 - 18.6 = 14.8\ m$。
计算 $A$ 到 $B$ 的速度：
$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{15.1}{32 - 1} = \frac{15.1}{31} \approx 0.487\ m/s$。
计算 $B$ 到 $C$ 的速度：
$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{14.8}{34 - 32} = \frac{14.8}{2} = 7.4\ m/s$。
该人在 $BC$ 段速度较快。
结论:从 $A$ 到 $B$ 的位移是 $15.1\ m$，从 $B$ 到 $C$ 的位移是 $14.8\ m$，该人在 $BC$ 段速度较快。

例 2 已知函数 $f(x)=\frac{1}{x^2 - 4x}$，则 $f(x)$ 在 $x$ 从 $1$ 变化到 $2$ 时的增量 $\Delta f=f(2)-f(1)$ 的值为
(A)

A.$\frac{1}{12}$
B.$-\frac{7}{12}$
C.$-\frac{1}{12}$
D.$\frac{7}{12}$

答案： A

例 3 已知函数 $f(x)=-x^2$ 图象上一点 $(-3,-9)$ 及其附近一点 $(-3+\Delta x,f(-3+\Delta x))$，求 $\frac{f(-3+\Delta x)-f(-3)}{\Delta x}$.
解析第一步：计算函数值的增量$\Delta y$
$\begin{aligned}f(-3+\Delta x)-f(-3)&=-(-3+\Delta x)^2 - (-(-3)^2)\\&=-[9 - 6\Delta x + (\Delta x)^2] + 9\\&=-9 + 6\Delta x - (\Delta x)^2 + 9\\&=6\Delta x - (\Delta x)^2\end{aligned}$
第二步：计算自变量的增量$\Delta x$
$(-3+\Delta x)-(-3)=\Delta x$
第三步：计算平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$\frac{f(-3+\Delta x)-f(-3)}{\Delta x}=\frac{6\Delta x - (\Delta x)^2}{\Delta x}=6 - \Delta x\quad (\Delta x\neq0)$

答案： 解析
第一步：计算函数值的增量$\Delta y$
$\begin{aligned}f(-3+\Delta x)-f(-3)&=-(-3+\Delta x)^2 - (-(-3)^2)\\&=-[9 - 6\Delta x + (\Delta x)^2] + 9\\&=-9 + 6\Delta x - (\Delta x)^2 + 9\\&=6\Delta x - (\Delta x)^2\end{aligned}$
第二步：计算自变量的增量$\Delta x$
$(-3+\Delta x)-(-3)=\Delta x$
第三步：计算平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x}$
$\frac{f(-3+\Delta x)-f(-3)}{\Delta x}=\frac{6\Delta x - (\Delta x)^2}{\Delta x}=6 - \Delta x\quad (\Delta x\neq0)$
答案
$6 - \Delta x$

例 4 已知函数 $f(x)=x^2 - 1$ 图象上两点 $A(2,3),B(2+\Delta x,f(2+\Delta x))$，当 $\Delta x=-1$ 时，求割线 $AB$ 的斜率.
解析由题知，已知点 $ A(2, 3) $ 和 $ B(2 + \Delta x, f(2 + \Delta x)) $，其中 $ \Delta x = -1 $，$ f(x) = x^2 - 1 $。首先计算 $ B $ 点的 $ y $ 坐标：$ f(2 + \Delta x) = f(2 - 1) = f(1) = 1^2 - 1 = 0 $。所以点 $ B $ 的坐标为 $ B(1, 0) $。割线 $ AB $ 的斜率 $ m $ 定义为：$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 3}{1 - 2} = \frac{-3}{-1} = 3 $。故割线AB的斜率为$ 3 $。

答案： 由题知，已知点 $A(2, 3)$ 和 $B(2 + \Delta x, f(2 + \Delta x))$，其中 $\Delta x = -1$，$f(x) = x^2 - 1$。
首先计算 $B$ 点的 $y$ 坐标：
$f(2 + \Delta x) = f(2 - 1) = f(1) = 1^2 - 1 = 0$。
所以点 $B$ 的坐标为 $B(1, 0)$。
割线 $AB$ 的斜率 $m$ 定义为：
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 3}{1 - 2} = \frac{-3}{-1} = 3 - 0（或直接计算为3） = 3$。
故割线AB的斜率为$3$。