《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例4 在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$E$，$F$分别是$BB_1$，$CD$的中点.
(1)求证：平面$AED\perp$平面$A_1FD_1$；
(2)在直线$AE$上求一点$M$，使$A_1M\perp$平面$AED$.

答案：
(1)设正方体棱长为2，以$A$为原点，$AB,AD,AA_1$为$x,y,z$轴建系。则$A(0,0,0),D(0,2,0),E(2,0,1),A_1(0,0,2),D_1(0,2,2),F(1,2,0)$。
$\overrightarrow{AE}=(2,0,1),\overrightarrow{AD}=(0,2,0)$，设平面$AED$法向量$\boldsymbol{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$，由$\begin{cases}2x_1+z_1=0\\2y_1=0\end{cases}$，取$\boldsymbol{n_1}=(1,0,-2)$。
$\overrightarrow{A_1F}=(1,2,-2),\overrightarrow{A_1D_1}=(0,2,0)$，设平面$A_1FD_1$法向量$\boldsymbol{n_2}=(x_2,y_2,z_2)$，由$\begin{cases}x_2+2y_2-2z_2=0\\2y_2=0\end{cases}$，取$\boldsymbol{n_2}=(2,0,1)$。
$\boldsymbol{n_1}·\boldsymbol{n_2}=1×2+0+(-2)×1=0$，故$\boldsymbol{n_1}\perp\boldsymbol{n_2}$，平面$AED\perp$平面$A_1FD_1$。
(2)设$M(2\lambda,0,\lambda)$，则$\overrightarrow{A_1M}=(2\lambda,0,\lambda-2)$。因$A_1M\perp$平面$AED$，故$\overrightarrow{A_1M}//\boldsymbol{n_1}$，即$\frac{2\lambda}{1}=\frac{0}{0}=\frac{\lambda-2}{-2}$（分母为0时分子必为0，成立），由$2\lambda=\frac{\lambda-2}{-2}$得$-4\lambda=\lambda-2\Rightarrow\lambda=\frac{2}{5}$。
$M\left(\frac{4}{5},0,\frac{2}{5}\right)$。
(1)证明见解析；
(2)$M\left(\frac{4}{5},0,\frac{2}{5}\right)$。